第17讲 等腰三角形、等边三角形、直角三角形

Copyright2004-2015版权所有盗版必究第二部分空间与代数第四章三角形第17讲等腰三角形、等边三角形、直角三角形Copyright2004-2015版权所有盗版必究⊙考纲要求⊙1.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件.2.了解等边三角形的概念及其性质.3.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件.4.会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判断直角三角形.⊙命题趋势⊙2010～2013年广东省中考题型及分值统计★中考导航★年份试题类型知识点分值2010解答题等边三角形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理16分2011解答题等腰直角三角形、勾股定理9分20122013填空题、解答题渗透勾股定理、直角三角形4分+3分Copyright2004-2015版权所有盗版必究1.从近几年的广东省考试内容来看，本讲内容命题难度较大，考查学生的综合能力，是中考命题的热点，考查的重点是勾股定理、等腰三角形、等边三角形性质的综合运用.2．题型以解答题为主．3.2014年考查重点可能是等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质，与勾股定理、解直角三角形、圆、轴对称、平移和旋转结合起来考查也应重视.Copyright2004-2015版权所有盗版必究★课前预习★1.（2013新疆）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．182.（2013成都）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A．2B．3C．4D．53．（2013黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度．BD15Copyright2004-2015版权所有盗版必究4.边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________.5．（2013滨州）在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为．6.如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠ACD=40°，则∠EBC=度．33cm140Copyright2004-2015版权所有盗版必究★考点梳理★1．等腰三角形(1)定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形．(2)性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；即“等边对等角”；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”．④等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是底边的．(3)判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”．2．等边三角形(1)定义：三边相等的三角形是等边三角形；(2)性质：①等边三角形的三边相等，三角相等，都等于600;②“三线合一”；③等边三角形是轴对称图形，有条对称轴．垂直平分线三Copyright2004-2015版权所有盗版必究(2)判定：①有一个角是的三角形是直角三角形；②有一边上的中线是这边的的三角形是直角三角形．(3)勾股定理及逆定理①勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；②勾股定理的逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形．(3)判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是的等腰三角形是等边三角形．3．直角三角形(1)性质：①直角三角形的两锐角互余；②直角三角形300角所对的直角边等于斜边的；③直角三角形中，斜边上的长等于斜边的长的一半．60°一半中线直角一半Copyright2004-2015版权所有盗版必究考点1.等腰、等边三角形的判定和性质（2007～2012年考）1．（2013广安）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（）A．25B．25或32C．32D．19思路点拨：由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．★课堂精讲★C2.已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（1）放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C=∠EFB=90º，∠E=∠ABC=30º，AB=DE=4．求证：△EGB是等腰三角形．思路点拨：根据题意，即可发现∠EBG=∠E=30°，根据30°的直角三角形的性质从而证明结论．2.证明：在RtΔEFB中，∠E=030，∴∠EBF=060又∵∠ABC=030，∴∠EBG=∠E=030∴EG=BG∴ΔEGB是等腰三角形.Copyright2004-2015版权所有盗版必究3．（2013淄博）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．思路点拨：根据AD∥BC，可求证∠ADB=∠DBC，利用BD平分∠ABC和等量代换可求证∠ABD=∠ADB，然后即可得出结论．3.证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD．4．（2013黑龙江）已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形ABnCn的面积为.思路点拨：由AB1为边长为2等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出第一个等边三角形AB1C1的面积，同理求出第二个等边三角形AB2C2的面积，依此类推，得到第n个等边三角形ABnCn的面积．Copyright2004-2015版权所有盗版必究考点2.直角三角形的判定及性质、勾股定理（2007～2009、2011、2013年考）5.如图所示，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有．①∠A+∠B=90°；②AB2=AC2+BC2；③④CD2=AD-BD.思路点拨：本题考查了直角三角形的性质和勾股定理的知识的应用，运用直角三角形的这些特性加以判断即可．根据①三角形内角和是180°、②勾股定理、③余弦函数、④相似三角形的性质等来逐一判断各结论是否符合题意．6.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°，则∠A=．思路点拨：利用对顶角相等得到∠AOB的度数，然后利用直角三角形两锐角互余求得角A即可．①②④52°Copyright2004-2015版权所有盗版必究7．（2013佛山）如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是（结果精确到0.1m）（）A．34.64mB．34.6mC．28.3mD．17.3m思路点拨：首先计算出∠B的度数，再根据直角三角形的性质可得AB=40m，再利用勾股定理计算出BC长即可．BCopyright2004-2015版权所有盗版必究★随堂检测★1．（2013白银）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为．2．（2013荆门）若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为．3.已知：如图，锐角△ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB=OC，求证：△ABC是等腰三角形；6,4或5,53.证明：∵OB=OC∴∠OBC=∠OCB∵BE、CD是两条高∴∠BDC=∠CEB=90°又∵BC=CB∴△BDC≌△CEB（AAS）∴∠DBC=∠ECB∴AB=AC∴△ABC是等腰三角形．Copyright2004-2015版权所有盗版必究4.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE=CD．求证：∠B=∠E．5．如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为．6.下列说法正确的有（）①如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，则三角形是直角三角形；③如果三角形的三边长分别为4、4、6，那么这个三角形不是直角三角形；④有一个角是直角的三角形是直角三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个4.证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠CDE=180°，∴∠B=∠CDE，∵CE=CD，∴△CDE是等腰三角形，∴∠CDE=∠E，∴∠B=∠E．2DCopyright2004-2015版权所有盗版必究7．已知ABC△的三边长分别为5，13，12，则ABC△的面积为（）A．30B．60C．78D．不能确定8．（2013东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m（容器厚度忽略不计）．9.等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（）A．7B．6C．5D．4A1.3C