28.2 解直角三角形同步学案(含答案)

．2解直角三角形本节教学内容是在学习三角函数关系的基础上能运用直角三角形的边角关系(从而进一步理解直角三角形的概念),会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。本节归纳了直角三角形中边角之间的关系,它既是前面所学知识的运用,也是高中继续学习三角函数和解斜三角形的重要预备知识。它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法(转化化归),在本节中有针对性的对学生进行了这方面的能力培养。另外由于解直角三角形在生活实际中应用非常广泛，因此解直角三角形的应用是本节的难点根据教学大纲,结合素质教育的要求,在知识上本节课的目标是:使学生理解解直角三角形的意义，能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形，并利用所学的知识解决直角三角形的应用问题。点击一：解直角三角形1、解直角三角形的类型根据求解的条件分类，利用边角关系可有如下基本基本类型及其解法：（1）已知两边：①两条直角边a、b．其解法：c=22ba，用tanA=ba,求得∠A，∠B=90°－∠A．②斜边和一条直角边c、a．其解法：b=22ac，用sinA=ca，求得∠A，∠B=90°－∠A．（2）一边和一锐角：①一条直角边a和锐角A：∠B=90°－∠A；用tanA=ba,求得b=Aatan；用sinA=ca，求得c=Aasin．②斜边c和锐角A：∠B=90°－∠A；用sianA=ca,求得a=csianA；用cosA=cb,求得b=ccosA．、解直角三角形的方法（口诀）：“有斜用弦，无斜用切；宁乘毋除，取原避中．”这两句话的意思是：当已知和求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则用原始数据，尽量避免用中间数据．针对练习1：1.如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°，则拉线AC的长为（）A．6sin52米B．6tan52米C．6·cos52°米D．6cos52米答案：D2.如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离约为（）A．4.5mB．4.6mC．6mD．8m答案：A3.如图，两个高度相等且底面直径之比为1∶2的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是（）A．43cmB．6cmC．8cmD．10cm答案：B4.王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60o，又知水平距离BD=10m，楼高AB=24m，则树高CD为（）ABC┐．31024mB．331024mC．3524mD．9m答案：A5.如图，小明在楼顶A处测得对面大楼楼顶点C处的仰角为52°，楼底点D处的俯角为13°．若两座楼AB与CD相距60米，则楼CD的高度约为米．（结果保留三个有效数字）（sin130.2250≈，cos130.9744≈，tan130.2309≈，sin520.7880≈，cos520.6157≈，tan521.2799≈答案：90.66.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，3cos4BAC，则梯子长AB=米.答案：47.如图，张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30，旗杆底部B点的俯角为45．若旗杆底部B点到建筑物的水平距离9BE米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A离地面的高度为米（结果保留根号）．答案：1033ABCDBC1352A60米四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么sin．答案：35（或0.6）9.如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BCAD∥，迎水坡AB长13米，且12tan5BAE，则河堤的高BE为米．答案：1210.四边形ABCD的对角线ACBD，的长分别为mn，，可以证明当ACBD时（如图1），四边形ABCD的面积12Smn，那么当ACBD，所夹的锐角为时（如图2），四边形ABCD的面积S．（用含mn，，的式子表示）答案：1sin2mn11.如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC＝米（用根号表示）．答案：3250CBA35°PABC30°60°北BCDEAＡＢＣＤ图1ＢＡＤＣ图2课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成35时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为23.5米，则旗杆AB的高度约是米（精确到0.1米）答案：16.513.如图，在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，高为AB．当太阳光与水平线成60°角时，测得该树在斜坡上的树影BC的长为6m，则树高ABm．答案：62点击二：解直角三角形的应用（1）仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.（2）方位角•指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角.•如图：点A在O的北偏东30°•点B在点O的南偏西45°（西南方向）BCA60°15°6m铅直线视线仰角俯角视线视线水平线（3）坡度的概念，坡度与坡角的关系。如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。针对练习2：1．如图1，A市东偏北60°方向有一旅游景点M，在A市东偏北30°的公路上向前行800米到C处，测得M位于C的北偏西15°，则景点M到公路AC的距离MN为________米（结果保留根号）．200（3+1）(1)(2)(3)30°45°BOA东西北南．如图2，B、C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=60米，则点A到岸边BC的距离是________米．303．如图3，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC等于6米，背水坡AB的坡度i=1：2，则斜坡AB的长为_______米（精确到0.1米）．134．如图4，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在山坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影子长为2米，则电线杆的高度约为_______米（结果保留两位有效数字，2≈1.41，3≈1.73）．8.73(4)(5)(6)5．小强和小明去测量一座古塔的高度（如图5），他们在离古塔60米的A处，用测角仪器得塔顶的仰角为30°，已知测角仪器高AD=1.5米，则古塔BE的高为（）BA．（203-1.5）米B．（203+1.5米）C．31.5D．28.56．如图6是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图．设∠DAO=，彩电后背AD平行于前沿BC，且与BC的距离为60cm，若AO=100cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是（A）A．（60+100sinα）cmB．（60+100cosα）cmC．（60+100tanα）cmD．以上答案都不对类型之一：解直角三角形例1:如图1,已知:在△ABC中,0045,60BA,AB=8.求△ABC的面积(结果可保留根号).解析:由已知条件得知,0045,60BA,可以作出高线CD,这样既构造出直角,又可以求出高,从而使问题求解.解:过C作CD⊥AB于D,在Rt△ADC中,因为∠CDA=,900所以DACCDDA即.33CDAD在Rt△BDC中,因为045B,所以045BCD.所以CD=BD.因为AB=DB+DA=CD+,833CD所以CD=12-.34所以.31648341282121CDABSABC点评：“遇斜化直”是处理此类问题的常用方法，求解时应充分运用已知条件，使问题简捷获解.类型之二：解直角三角形的应用例2:某商场门前的台阶截面积如图2所示.已知每级台阶的席度（如CD）均为0.3m，高度（如BE）均为0.2m.现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A为9°，计算从斜坡的起点A到台阶前点B的距离.（精确到0.1m）.（参考数据：16.09tan,99.09cos,16.09sin）解析:要计算从斜坡的起点A到点B的距离,即求AB,过点C作CF⊥AB交AB的延长线于F,这样在Rt△CAF中,可以利用锐角三角函数求得AF,从而有BFAFAB.解答:过C作CF⊥AB交AB的延长线于F.由条件得CF=0.8m，BF=0.9m.在Rt△CAF中，AFCFAtan，∴516.08.0AF（m）.∴1.49.05BFAFAB（m）.答：从斜坡起点A到台阶前点B的距离约为4.1m.点评：解直角三角形的应用问题是中考热点题型,需要引起同学们的注意.类型之三：用锐角三角函数测量宽度例3:在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图4所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向图3图2DCBA图1处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈53，sin31°≈21）解析:过点C作CD⊥AB，构造Rt△ACD和Rt△BCD,设CD＝x米，运用方程及解直角三角形中线段之间的关系可求出CD(即河的宽度).解答：如图5,过点C作CD⊥AB，垂足为D，类型之四：车厢离地面多少米？例4：如图，自卸车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB＝3米，BC＝0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度060，问此时车厢的最高点A离地面多少米？（精确到1米）【解析：】此题只需求出点A到CE的距离，于是过A、D分别作AG⊥CE，DF⊥CE，构造直角三角形，解Rt△AHD和Rt△CDF即可求解．过点A、D分别作CE的垂线AG、DF，垂足分别为G、F，过D作DH⊥AG于H，则有：23323360sin0CDDF41215.060cos0ADAH于是A点离地面的高度为42.141233（米）．所以，车厢的最高点A离地面约为4米．点评：本题只要将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后，运用三角函数的有关知识即可解决．类型之五：如何将角橱搬进房间？例5：如图1所示是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2米，房间高2.6米，所以不从高度方面考虑方案的设计），按此方案可以使该家具通过如图图4问题一图HGFDCBA中的长廊搬入房间，在图2中把你的设计方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由（注：搬动过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁）．问题二图10.50.51.51.5问题二图2长廊房间31.45【解析：】如说理图所示，作直线AB，延长DC交AB于E，由题意可知，△ACE是等腰直角三角形，所以CE