挑战2014数学中考压轴题：因动点产生的直角三角形问题(含2013试题,含详解)

YDXSZX1.3因动点产生的直角三角形问题例52013年山西省中考第26题如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A、B、C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N.试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．YDXSZX1.3因动点产生的直角三角形问题例52013年山西省中考第26题解：（1）由21314(2)(8)424yxxxx，得A(－2,0)，B(8,0)，C(0,－4)．（2）直线DB的解析式为142yx．由点P的坐标为(m,0)，可得1(,4)2Mmm，213(,4)42Qmmm．所以MQ＝221131(4)(4)82424mmmmm．YDXSZX1.3因动点产生的直角三角形问题例52013年山西省中考第26题（2）当MQ＝DC＝8时，四边形CQMD是平行四边形．解方程21884mm，得m＝4，或m＝0（舍去）．此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,－2)，Q(4,－6)．所以MN＝NQ＝4．所以BC与MQ互相平分．所以四边形CQBM是平行四边形．（3）存在两个符合题意的点Q，分别是(－2,0)，(6,－4)．YDXSZX1.3因动点产生的直角三角形问题例52013年山西省中考第26题考点伸展第（3）题可以这样解：设点Q的坐标为1(,(2)(8))4xxx．①如图3，当∠DBQ＝90°时，12QGBHGBHD．所以1(2)(8)1482xxx．解得x＝6．此时Q(6,－4)．②如图4，当∠BDQ＝90°时，2QGDHGDHB．所以14(2)(8)42xxx．解得x＝－2．此时Q(－2,0)．图3图4YDXSZX1.3因动点产生的直角三角形问题例62012年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．YDXSZX1.3因动点产生的直角三角形问题例62012年杭州市中考第22题解：（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是kyx．当k＝－2时，反比例函数的解析式是2yx．（2）在反比例函数kyx中，如果y随x增大而增大，那么k＜0．当k＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大．抛物线y＝k(x2＋x＋1)＝215()24kxk的对称轴是直线12x．所以当k＜0且12x时，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．YDXSZX1.3因动点产生的直角三角形问题例62012年杭州市中考第22题（3）抛物线的顶点Q的坐标是15(,)24k，A、B关于原点O中心对称，当OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．由OQ2＝OA2，得222215()()124kk．解得1233k（如图2），2233k（如图3）．图2图3YDXSZX1.3因动点产生的直角三角形问题例62012年杭州市中考第22题考点伸展如图4，已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线kyx（k＞0）交于A、B和C、D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形．问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？如图5，当A、C关于直线y＝x对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形ABCD是矩形．因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA与OC无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形．图4图5