2015全国数学建模竞赛A题一等奖

1太阳影子定位摘要视频拍摄地点和拍摄日期的确定在视频数据分析中占据着重要的位置，本文建立了影子长度与日期、时间、经纬度、直杆高度之间的函数关系模型，通过最小二乘估计方法和小孔成像原理来确定视频拍摄的地点和日期。针对问题一，根据太阳与地球之间的物理关系，建立了影子长度关于日期、时间、经度、纬度、杆长5个变量的非线性函数模型一，并讨论了影子长度与这5个变量变化的关系，揭示了5个变量变化对影子长度的影响。把所建立模型应用到问题一中的例子，给出了影子长度关于北京时间9:00-15:00的函数关系，并描绘了影子长度与时间变化曲线图像。针对问题二，首先对太阳影子顶点坐标数据进行处理计算出每个时刻影子长度；其次对模型一进行改进建立了影子长度关于日期、时间、经度、纬度、杆长5个变量的非线性函数模型二；然后根据数据（影子长度和时间）采用最小二乘方法对模型二中未知参数（经度、纬度）进行估计，获得了若干个可能的地点（经度、纬度）；最后讨论了问题二中附件一影子顶点坐标轴的方向，指明了坐标轴确定方向的思路。针对问题三，首先对附件中太阳影子顶点坐标数据进行处理计算出每个时刻影子长度，其次根据数据与模型二，类似采用最小二乘方法对模型中的未知参数（经度、纬度、日期）进行估计，获得了若干个可能的地点（经度、纬度）和日期。针对问题四，引进“虚影子长度”变量，根据小孔成像原理和视频数据得到“虚影子长度”变量各个时刻的大小，并建立了“虚影子长度”关于日期、时间、经度、纬度、杆长、拍摄位置(,)7个参数的非线性函数模型，并采用最小二乘方法对模型中未知参数进行估计，得到杆的位置和若干个可能拍摄的地点。并论证了，如果拍摄日期未知，能根据视频确定出拍摄地点与日期。关键词：最小二乘估计法；非线性拟合；虚影子2一、问题重述如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？二、问题分析问题一，由于太阳高度角与直杆高度、影子长度存在三角关系，从这个突破口，我们可以寻找出日期、时间、经纬度、直杆高度、影子长度之间的关系来建立模型。通过改变一个参数，确定其它参数来分析影子长度与各参数之间的关系。根据问题中给定的参数值就可以求解出直杆的太阳影子长度的变化曲线。问题二，因为问题中所涉及的参数与问题一是一样的，通过问题一的模型，利用已知参数，可以将对未知参数的求解问题转化成最小二乘估计问题，并确定当满足条件时，所得参数值即为所求。关于坐标系的问题，先假定坐标系的方向，计算出方位角，根据方位角与附件1中数值的关系，旋转坐标系使得参数与附件31中数值一致，此时的坐标系方向即为附件1中坐标系的方向。问题三，问题三是在问题二的基础上，待求参数增加了一个日期，所以可以依照问题二的方法求解。问题四，第一小问分析：首先，对视频的文件进行读取，采用matlab读取视频VideoReader类，将读取出不同时刻直杆在摄像机中成像的直杆像长度h，影子像长度1il，为了能够确定视频的拍摄位置，引入方位角，建立极坐标系。其次，因为摄像机的焦距的大小相对摄像机离杆的距离可忽略不计，所以在这里为了计算简便，把摄像机凸透镜的成像原理转换成小孔成像原理，分别绘制直杆的小孔成像图、影子的小孔成像图。接着，根据几何关系得出各变量的函数关系表达式，最后，利用最小二乘优化方法得出视频拍摄地点的数学模型。第二小问分析：问题“如果拍摄日期未知，能否根据视频确定出拍摄地点与日期？”经查阅百度百科，所谓的“日期”是指约定的日子和时间，日期的标准格式为年月日。对日期的定义比较模糊，有时日期也可以认为指年月日时分。那么针对本问题，我们将分成两中情况。第一种：日期指月日（不考虑平年闰年）、第二种：日期指月日时分。三、符号说明N——从元旦到计算日的总天数h——杆长，其单位是米l——影长，其单位是米0t——北京时间，其单位是时，分t——地方时，其单位是时，分d——日期，其单位是年，月，日0——北京所在的经度，其单位是度——直杆所在位置的经度，其单位是度——直杆所在位置的纬度，其单位是度——赤纬角，其单位是度——时角，其单位是度4——高度角，其单位是度——方位角，其单位是度pE——标准时差，其单位是分关于问题四中的符号说明在问题四中呈现。四、模型假设1、地球是一个规则的球体。2、地球的自转速度是一个常数。3、地球的公转速度也是一个常数。4、不考虑闰年和平年。5、东西经度统一为经度，南北纬度统一为纬度。6、杆所在的地面是水平的。7、直杆始终垂直于地面。8、相机拍摄高度相对于地面为零。五、问题一1.影长求解模型的建立直杆的影子是由于太阳对直杆的照射产生的，太阳光照射到直杆影子顶点的入射方向和地平面之间的夹角实际上就是直杆高度和影子长度的关系，即太阳高度角与直杆高度、影子长度的关系tan()lh的原理图，如图1.1。其中，太阳高度角又与赤纬角、时角等有关，通过对一系类关系的整理，建立了影长求解模型。5hl图1.1原理图1.1通过相关理论基础对赤纬角、时角、高度角进行解释1.1.1赤纬角]1[太阳赤纬角指地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角，《建筑设计资料集》中给出了赤纬角近似公式:例如：大寒日常1月20日，N=20，则959120。))9500/1(*)25.80sin((*45.23NN例如：大寒日常1月20日，N=20，则959120。1.1.2时角]2[单位时间地球自转的角度定义为时角，规定正午时角为0，上午时角为负值，下午时角为正值。地球自转一周360，对应的时间为24小时，即每小时相应的时角为15，每4分钟的时角为1。时角的计算公式是：15(t12)给定精确的地方时与标准时之间的转换关系：004()pttE6其中，系数4经度上每一度对应的是四分钟。因为时差pE的值对模型求解的影响不大，为了模型求解的简便，修正值pE可以忽略不计，公式可以简化为：004()tt。1.1.3太阳高度角太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，专业上讲太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角。太阳高度角简称高度角。太阳高度角的公式为：sin()sin()sin()cos()cos()cos()结合上面几个定义，整理出了以下几个关系式：00tan()sin()sin()sin()cos()cos()cos()23.45sin((80.25)(19500))15(t12)4()lhNNtt由关系式，建立了影长关于参数日期、时间、直杆纬度、直杆经度、直杆高度的模型一：2.各参数和影长关系的分析将影长求解模型一简写为：0(,,,,)lfhNt。其中参数有5个，直杆高度h、直杆纬度、日期d、时间0t、直杆经度。为了要分析影长和各参数间的单独关系，我们可以给定其中4个参数的值，来分析另外1个参数变化对影长的关系。不妨假设5个参数值（见表1.1），从中选择4个来确定分析。表1.15个参数值直杆高度h5北京经度0116.3914日期d3月10日（N=70）直杆经度100.3710时间0t9直杆纬度39.90727当其它4个参数给定时，分别作出影子与日期、时间、当地纬度、直杆长度的关系图1.2、1.3、1.4、1.5，如下图所示：图1.2图1.3图1.4图1.5由以上4幅图可知，当其它参数给定时，影子长度与直杆高度成线性关系，与日期、时间和纬度成非线性关系，并且与后三者存在周期性。其中，影子长度与日期成年周期性，近日点最短，远日点最长；同样的，与时间成日周期性，正午影子长度最短，并向两边逐渐变长；影子长度关于纬度的变化规律也是成年周期性的，并且影子的长度随着纬度的增加成指数增长，在这里因为给定的日期是3月10日，此时的太阳位置在南半球，而直杆位置在北半球，太阳的照射范围是90度，所以当纬度达到84度左右时，就已经接近太阳的照射尽头了，这个时候的影子长度就接近最长，当直杆纬度超过太阳照射范围时，影子长度的值就为负值了。83.问题求解为了确定2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。在影长求解模型一中，0是北京经度，是直杆的经度，此时的直杆位置在北京，即0。模型一可以简化为：/tan(arcsin(sin()sin(23.45sin((80.25)(19500)))cos()cos(23.45sin((80.25)(19500)))cos(15(t12))))lhNNNN此时，日期为10月22日即295N，39.9072，3h，把这些值代入后，l关于t就是一元函数。因此可以计算不同时刻下影子的长度，见表1.2。根据影长与时间变化数据拟合出直杆的太阳影子长度的变化曲线如图1.6。表1.2不同时刻下影子的长度t99.51010.51111.512l6.68285.56584.81024.29373.95443.76063.6975t12.51313.51414.515l3.76063.95444.29374.81025.56586.6828图1.6太阳影子长度的变化曲线9六、问题二1.位置求解模型二的建立问题二中，要求根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。根据太阳影子顶点坐标数据可以计算出每个时刻对应的影长，如图2.1是附件1中影长与时间变化关系的散点图。图2.1影长与时间的散点图由影子长度与各参数的函数关系式0(,,,,)lfhNt可知，影长与纬度、经度、日期、时间等的关系为非线性。根据题目附件1数据知道108N（4月18日），以及北京经度0=116.3914。影长函数00(,,,,,)lfhNt仅由参数0,,,ht确定，而时间0t与影长l的数据可以根据题目附件1影子顶点坐标数据获得（0,tl）见表2.1。该问题就转化成函数模型形式00(,,,,,)lfhNt，和已知观测数据（0,tl），未知参数,,h的问题。这个问题的未知参数就可以采用最小二乘估计来求解。最小二乘估计]3[的目的就是估计参数,,h使得函数0,ft在点0it1,2,,in处的函数值与观测数据偏差的平方和达到最小。即求满足如下条10件的函数0ˆ,ft使得：220011ˆmin,,niiiiiiftlftl其中ˆ[,,]h是待定的参数（即：纬度、经度、直杆的高度），而ˆ就是最小二乘法所确定的最佳参数，从而确定了直杆所处的地理位置（纬度和经度）。2.问题求解由附件1将影子顶点坐标数据转换为影子的长度l，将北京时间以小时的形式转换为数值0t，得到表2.1如下。表2.1不同时间对应的影长