余弦定理知识点题型大总结(无答案)

余弦定理知识点题型大总结（无答案）知识概况1．余弦定理(1)语言叙述：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦求积的两倍．(2)公式表达：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.(3)推论：在△ABC中，cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝c2＋a2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.2．余弦定理及其推论的应用：可以解决两类解三角形问题：一是已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解；二是已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解．题型一、已知两边与一角解三角形1.在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝π6，c＝23，则b＝________.2、在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.3、设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cosC＝14，则sinB＝________.4．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32B.332C.3＋62D.3＋3945、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c.6.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．7．△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，且AB→·AC→＝AC→2，则BC＝________.8.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝π3，3a＝2c＝6，则b的值为()A.3B.2C.6－1D．1＋69．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝14，a＝4，b＋c＝6，且bc，求b，c的值．10．在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求角A、B和边c的值．11.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝223，AB＝32，AD＝3，则BD的长为________．12、在△ABC中，c＝150，b＝503，B＝30°，则边长a＝题型二已知三边解三角形1、在△ABC中，已知a＝23，b＝6，c＝3＋3，解此三角形．2、在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．3、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b2＝ac，且a2－c2＝ac－bc，则角A的大小为________．4、在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32B.332C.3＋62D.3＋3945．在△ABC中，a＝1，b＝3，c＝2，则角B等于()A．30°B．45°C．60°D．120°6．在△ABC中，c2－a2－b2＝3ab，则角C为()A．60°B．45°或135°C．150°D．30°7．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为()A.π3B.π6C.π4D.π128．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是()A．90°B．120°C．135°D．150°9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bccosA＋cacosB＋abcosC＝3，则a2＋b2＋c2＝()A.32B．3C．6D．910.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A．10B．9C．8D．511．在△ABC中，三边长AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB→·BC→等于()A．19B．－14C．－18D．－1912．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.13.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且ABC,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为()A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶4题型三判断三角形形状1.判断三角形形状的基本思想和两条思路基本思想：判断三角形的形状，要从“统一”入手，体现转化思想．两条思路：(1)化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式；(2)化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式．2．判定三角形形状时经常用到下列结论(1)在△ABC中，若a2b2＋c2，则0°A90°；反之，若0°A90°，则a2b2＋c2.例如：在不等边△ABC中，a是最大的边，若a2b2＋c2，可得角A的范围是(π3，π2)．(2)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2.(3)在△ABC中，若a2b2＋c2，则90°A180°；反之，若90°A180°，则a2b2＋c2.1.在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，试确定△ABC的形状．2、在△ABC中，若sin2A＋sin2Bsin2C，则△ABC的形状是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定3、若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．若三条线段的长分别为3、5、7，则用这三条线段()A．能组成直角三角形B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形D．不能组成三角形5．在△ABC中，若a2b2＝a2＋c2－b2b2＋c2－a2，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则此三角形一定是()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝2bcosC，试判断△ABC的形状．8、在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．题型四、取值范围1.设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．2、在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，c＝t，且C是最大角，则t的取值范围是________．3、已知锐角三角形的边长分别为1,3，x，则x的取值范围是多少？4．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2b2＋c2，则角A的取值范围是________．题型五、正余弦定理、面积综合1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2＋c2－bc＝a2，且ab＝3，则角C的值为()A．45°B．60°C．90°D．120°2．△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径为()A．43B．5C．52D．623．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π3，△ABC的面积S△ABC＝3，则△ABC的周长为()A．6B．5C．4D．4＋234．在△ABC中，如果sinA＝3sinC，B＝30°，那么角A等于()A．30°B．45°C．60°D．120°5、三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°7．(1)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设f(x)＝a2x2－(a2－b2)x－4c2，共中x∈R.若f(1)＝0，且B＝C＋π3，试求角A，B，C.(2)在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．8．在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．9.在△ABC中，cosC＝－33，sinB＝13.(1)求sinA的值；(2)设AC＝6，求△ABC的面积．10.如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝4，BC＝6，CD＝2,3AB→·AD→＋4CB→·CD→＝0(1)求四边形ABCD的面积；(2)求三角形ABC的外接圆半径R；(3)若∠APC＝60°，求PA＋PC的取值范围．11.已知函数f(x)＝3sinxcosx＋cos2x－12，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(B)＝1.(1)求角B的大小；(2)若a＝3，b＝1，求c的值．12.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝79.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．13.已知函数f(x)＝3(1＋cosx)－sinx，在△ABC中，AB＝3，f(C)＝3，且△ABC的面积为32.(1)求C的值；(2)求sinA＋sinB的值．14.设△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，cosB＝45，b＝2.(1)当A＝π6时，求a的值；(2)当△ABC面积为3时，求a＋c的值．15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．16.已知△ABC的周长为6，|BC→|，|CA→|，|AB→|成等比数列，求：(1)△ABC的面积S的最大值；(2)BA→·BC→的取值范围．