2015年全国高考文科数学卷一及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文一、选择题：每小题5分,共60分1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}AxxnnNB，则集合AB中的元素个数为（A）5（B）4（C）3（D）22、已知点(0,1),(3,2)AB，向量(4,3)AC，则向量BC（A）(7,4)（B）(7,4)（C）(1,4)（D）(1,4)3、已知复数z满足(1)1zii，则z（）（A）2i（B）2i（C）2i（D）2i4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）（A）310（B）15（C）110（D）1205、已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线2:8Cyx的焦点重合，,AB是C的准线与E的两个交点，则AB（A）3（B）6（C）9（D）126、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛7、已知{}na是公差为1的等差数列，nS为{}na的前n项和，若844SS，则10a（）（A）172（B）192（C）10（D）128、函数()cos()fxx的部分图像如图所示，则()fx的单调递减区间为（）（A）13(,),44kkkZ（B）13(2,2),44kkkZ（C）13(,),44kkkZ（D）13(2,2),44kkkZ9、执行右面的程序框图，如果输入的0.01t，则输出的n（）（A）5（B）6（C）7（D）810、已知函数1222,1()log(1),1xxfxxx，且()3fa，则(6)fa（A）74（B）54（C）34（D）1411、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620，则r()（A）1（B）2（C）4（D）812、设函数()yfx的图像与2xay的图像关于直线yx对称，且(2)(4)1ff，则a()（A）1（B）1（C）2（D）4二、填空题：本大题共4小题,每小题5分13、数列na中112,2,nnnaaaS为na的前n项和，若126nS，则n.14.已知函数31fxaxx的图像在点1,1f的处的切线过点2,7，则a.15.若x,y满足约束条件20210220xyxyxy,则z=3x+y的最大值为．16.已知F是双曲线22:18yCx的右焦点，P是C左支上一点，0,66A，当APF周长最小时，该三角形的面积为．三、解答题17.（本小题满分12分）已知,,abc分别是ABC内角,,ABC的对边，2sin2sinsinBAC.（I）若ab，求cos;B（II）若90B，且2,a求ABC的面积.18.（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BEABCD平面，（I）证明：平面AEC平面BED；（II）若120ABC，,AEEC三棱锥EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积.19.（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费ix和年销售量1,2,,8iyi数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.（I）根据散点图判断，yabx与ycdx，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为0.2zyx，根据（II）的结果回答下列问题：（i）当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？20.（本小题满分12分）已知过点1,0A且斜率为k的直线l与圆C：22231xy交于M，N两点.（I）求k的取值范围；（II）若12OMON，其中O为坐标原点，求MN.21.（本小题满分12分）设函数2lnxfxeax.（I）讨论fx的导函数fx的零点的个数；（II）证明：当0a时22lnfxaaa.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图AB是O直径，AC是O切线，BC交O与点E.（I）若D为AC中点，证明：DE是O切线；（II）若3OACE，求ACB的大小.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线1:2Cx，圆222:121Cxy，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求12,CC的极坐标方程.（II）若直线3C的极坐标方程为πR4，设23,CC的交点为,MN，求2CMN的面积.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数12,0fxxxaa.（I）当1a时求不等式1fx的解集；（II）若fx的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文答案一、选择题（1）D（2）A（3）C（4）C（5）B（6）B（7）B（8）D（9）C（10）A（11）B（12）C二、填空题（13）6（14）1（15）4（16）126三、解答题17、解：（I）由题设及正弦定理可得2b=2ac.又a=b，可得cosB=2222acbac=14……6分（II）由（I）知2b=2ac.因为B=o90，由勾股定理得222ac=b.故22ac=2ac，的c=a=2.所以△ABC的面积为1.……12分18、解：（I）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.……5分（II）设AB=x，在菱形ABCD中，又∠ABC=o120，可得AG=GC=32x，GB=GD=2x.因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG=32x.由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形，可得BE=22x.由已知得，三棱锥E-ACD的体积EACDV=13×12AC·GD·BE=366243x.故x=2……9分从而可得AE=EC=ED=6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.……12分19、解：（I）由散点图可以判断，y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程式类型.（II）令wx，先建立y关于w的线性回归方程式.由于28181()()108.8d=681.6()iiiiiwwyyww,563686.8100.6cydw，所以y关于w的线性回归方程为y=100.668w,因此y关于x的回归方程为y100.668x（Ⅲ）（i）由（II）知，当x=49时，年销售量y的预报值y100.66849=576.6，年利润z的预报值z=576.60.24966.32……9分（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值z=0.2(100.6+68)-=-13.620.12xxxx.所以当13.6=6.82x，即x=46.24时，z取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分20、解：（I）由题设，可知直线l的方程为1ykx.因为l与C交于两点，所以223111kk.解得474733k.所以k的取值范围为4747(,)33.……5分（II）设1122,,(,)MxyNxy.将1ykx代入方程22(2)(3)1xy，整理得22(1)4(1)70kxkx.所以1212224(1)7,11kxxxxkk.1212OMONcxyy2121211kxxkxx24181kkk.由题设可得24181kkk=12，解得k=1，所以l的方程是y=x+1.故圆心C在l上，所以2MN.……12分21、解：（I）fx的定义域为20,,2(0)xafxexx.当a≤0时，0fxfx，没有零点；当0a时，因为2xe单调递增，ax单调递减，所以fx在0,单调递增，又0fa，当b满足0＜b＜4a且b＜14时，()0fb，故当a＜0时fx存在唯一零点.……6分（II）由（I），可设fx在0,的唯一零点为0x，当00xx，时，fx＜0；当0xx，时，fx＞0.故fx在0，单调递减，在0x，单调递增，所以0xx时，fx取得最小值，最小值为0fx.由于02020xaex，所以0002221212afxaxanaanxaa.故当0a时，221fxaana.……12分22、解：（I）连接AE，由已知得，AE⊥BC,AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连结OE，则∠OBE=∠OEB.又∠OED+∠ABC=o90，所以∠DEC+∠OEB=o90，故∠OED=o90，DE是O的切线.……5分（II）设CE=1，AE=x，由已知得AB=23，BE=212x.由射影定理可得，2AECEBE，所以2212xx，即42120xx.可得3x，所以∠ACB=60o.……10分23、解：（I）因为cos,sinxy，所以1C的极坐标方程为cos2，2C的极坐标方程为22cos4sin40.……5分（II）将4代入22cos4sin40，得23240，解得1222,2.故122，即2MN由于2C的半径为1，所以2CMN的面积为12.……10分24、解：（I）当1a时，1fx化为12110xx＞.当1x时，不等式化为40x＞，无解；当11x＜＜时，不等式化为320x＞，解得213x＜＜；当1x，不等式化为-x+2＞0，解得1≤x＜2.所以1fx的解集为223xx︱＜＜.……5分（II）由题设可得，12,1312,1,12,.xaxfxxaxaxaxa＜＜所以函数fx的图像与x轴围成的三角形的三个丁点分别为21,0,21,0,,13aABaCaa,△ABC的面积为2213a.由题设得2213a＞6，故a＞2.所以a的取值范围为2，.……10分