Lebesgue可测集浅谈

Lebesgue可测集浅谈［摘要］本次大作业着重研究Lebesgue外侧度，Lebesgue可测集的定义、性质，以及个人对Lebesgue测度的一些浅显的理解。［关键字］Lebesgue外侧度，Lebesgue可测集，Lebesgue测度。一、定义。1.1Lebesgue外测度对于每一个实数子集E，定义m∗(E)=inf{∑Inn：{In}n≥1是一列开区间并且E属于∪n≥1In}此时我们称m∗（E）为E的Lebesgue外测度，由于全体实数R是一个开区间并且E是R的子集，所以上述定义是合理的，并且m∗（E）是一个非负广义实数。1.2Lebesgue可测集对于每一个实数子集E，若对于任何实数子集A有m∗（A）≥m∗（A∩E）+m∗（A∩EC）则称E为Lebesgue可测集，或简称为可测集，用Ω表示所有可测集。1.3Lebesgue测度对于每一E∈Ω，记m(E)=m∗（E）,m(E)称为可测集E的Lebesgue测度，或简称为测度。二、性质。2.1Lebesgue外测度定理2.1.1（非负性）对于任一实数子集E，m∗（E）≥0。定理2.1.2（单增性）若𝐸1∈Ω，𝐸2∈Ω，则m∗(𝐸1)≤m∗(𝐸2)。定理2.1.3若I是一个区间，则m∗(I)=l(I)。定理2.1.4（次可加性）若：{En}n≥1是任意一列实数子集，则m∗（⋃Enn）≤∑m∗（En）n。2.2Lebesgue可测集与Lebesgue测度定理2.2.1为使实数子集E可测，充要条件是对任何A有m∗（A）=m∗（A∩E）+m∗（A∩EC）。定理2.2.2若m∗（E）=0，则E是可测集，并且m(E)=0。任意可数的实数集合是可测集且外侧度为0。证明:此时对任何的实数子集A，由外测度的单增性可知0≤m∗（A∩E）≤m∗（E）=0，又m∗（A∩EC）≤m∗（A），则m∗（A）≥m∗（A∩E）+m∗（A∩EC）所以E为可测集，m(E)=m∗（E）=0。定理2.2.3若E是区间，则E∈Ω，并且m(E)=l（E），l（E）为E的区间长度。引理2.2.1若E1∈Ω，E2∈Ω，那么E1∩E2也是可测集。引理2.2.2若{En}n≥1是一列两两不相交的可测集，则⋃Enn为可测集。定理2.2.4（i）可测集的补集是可测集；（ii）至多可数个可测集的并集和交集都是可测集。推论R中的开集和闭集都是可测集。定理2.2.5（可数可加性）若{En}n≥1是一列两两不相交的可测集，则m(⋃Enn)=∑m(En)ϖ定理2.2.6当可测集列{En}n≥1满足下列两个条件之一时有：limnm(En)=m(limnEn),（i）{En}单增；（ii）{En}单减并且m（E1）∞。定理2.2.7（测度的平移不变性）设E可测，则对任何实数y，Ey也可测并且m(Ey)=m(E)。定理2.2.8若E可测，那么（i）对任何ε0，有包含E的开集G使得m∗（G/E）ε；（ii）对任何ε0，有包含于E的开集F使得m∗（F/E）ε。即可测集可以用开集和闭集来趋近。推论：下面四个条件是等价的：（1）E是可测集；（2）任给ε0，存在可测集F和G，使得E是F的子集，G是E的子集并且m（G/F）ε。（3）存在包含E的Gδ集G，使得m∗（G/E）=0。（4）存在包含于E的Fδ集F，使得m∗（E/F）=0。定理2.2.9设E是可测集且m（E）∞，则对任何ε0，存在有限个端点为有理数的开区间Ik，1≤k≤n，使得m（E∆G）ε，其中G=⋃Ik∞k=1。由习题得出的一些结论：（1）若A，B都可测，A是B的子集，那么B/A也是可测集，且若m（A）∞,m（B/A）=m（B）−m（A）。（2）若A，B是R的子集，并且其中之一可测，那么m（A）+m（B）=m（A∩B）+m（A∪B）。（3）设A，B是R的子集，A∪B可测，并且m（A∪B）=m∗（A）+m∗（B），那么A和B都是可测集。二、对Lebesgue测度的理解首先，测度是通常区间的长度、长方形的面积、长方体的体积等的推广。实数的子集有很多，其中的一些可以具有“长度”这种性质，比如（1,2）、(2,3],但是如[0,1]上的有理数或是无理数集合他们的长度则不能明显地得出。为此测度的作用就出来了。可测集与开集和闭集差不多，所以可测集可以通过开集与闭集的逼近而得到。Lebesgue测度是度量一个集合中元素个数的度量工具，特别是对不可数集进行度量，就像是串糖葫芦，将元素一个一个串起来，从而对其长度进行测量。若将集合E比作图形，那么区间就像是容易求出面积的规则图形。Lebesgue外测度就好比是用规则图形区逼近求的不规则图形的面积，就像是将不规则图形分割，再用规则图形从外面套住分割后的不规则图形，求这些规则图形的面积。在进行无穷多次分割后，这些规则图形面积就无限的趋向原不规则图形面积。开区间列{𝐼𝑛}𝑛≥1就像是那些套住了“不规则图形”的“规则图形”全体。令套住了集合E这个“不规则图形”。∑𝑙(𝐼𝑛)𝑛就像是求规则图形面积和。Inf就仿佛将其和无穷逼近了E的“面积”即Lebesgue测度若E可测的话。但是测度和求面积还是不同的，将E比作图形的话，任何图形总是有面积，但是集合却存在不可测集E。由定义，易得测度就是可测集的外侧度。Lebesgue测度能对更多的集即可测集给出度量。尽管Lebesgue可测集包含了常见的一些集，但仍存在不可测集。以上只是我们二人对Lebesgue测度的粗浅的一些见解与认识，如有不当之处，敬请批评指正。参考文献：周性伟，实变函数第二版，科学出版社。