2一致收敛函数列与函数项级数的性质

首页ק2一致收敛函数列与函数项级数的性质一、一致收敛函数列的性质二、一致收敛函数项级数的性质首页×定理13.8设函数列{fn}在(a,x0)∪(x0,b)上一致收敛于f，且,,2,1)(lim0naxfnnxx则.lim)(lim0nnxxaxf即.)(limlim)(limlim00xfxfnxxnnnxx一、一致收敛函数列的性质这表明在一致收敛的条件下，极限可以交换顺序．首页×证先证数列{an}收敛．因为{fn}一致收敛，故对任给的ε0,存在N0,当nN时，对任何正整数p，对一切x∈(a,x0)∪(x0,b)有|fn(x)–fn+p(x)|ε从而,|)()(|lim0xfxfpnnxx即.||pnnaa由柯西准则知数列{an}收敛．首页×设,limAann下面证明：.)(lim0Axfxx因为{fn}一致收敛于f，数列{an}收敛于A，因此对任给的ε0,存在N0,当nN时，对任何x∈(a,x0)∪(x0,b)有|fn(x)–f(x)|ε/3和|an–A|ε/3同时成立．特别取n=N+1，有|fN+1(x)–f(x)|ε/3和|aN+1–A|ε/3首页×又,)(lim110NNxxaxf所以存在δ0,当0|x–x0|δ时，|fN+1(x)–aN+1|ε/3这样当0|x–x0|δ时，|)(|Axf|||)(||)()(|1111AaaxfxfxfNNNN,333所以.)(lim0Axfxx首页×定理13.9（连续性）设函数列{fn}在区间I上一致收敛于f，且fn(n=1,2,...)在I上连续，则f在I上也连续．证要证：对任何x0∈I,.)()(lim00xfxfxx)(lim0xfxx由定理13.8，)(limlim0xfnnxx)(limlim0xfnxxn)(lim0xfnn.)(0xf首页×定理13.10（可积性）设函数列{fn}在[a,b]上一致收敛于f，且fn(n=1,2,...)在[a,b]上连续，则f在[a,b]上可积，且.d)(limd)(limd)(bannbannbaxxfxxfxxf证由定理13.9，f在[a,b]上连续，从而f在[a,b]上可积．|d)(d)(|babanxxfxxf|d)]()([|banxxfxfbanxxfxfd|)()(|因为函数列{fn}在[a,b]上一致收敛于f，所以对任给的ε0,存在N0,当nN时，对一切x∈[a,b]，都有|fn(x)－f(x)|ε于是当nN时有|d)(d)(|babanxxfxxfbanxxfxfd|)()(|baxd.)(ab证毕．定理13.11（可微性）设x0∈[a,b]为{fn}的收敛点，且fn(n=1,2,...)在[a,b]上有连续的导数，{fn'}在[a,b]上一致收敛，则.)(ddlim))(lim(ddxfxxfxnnnn证设,)(lim0Axfnn.)()(limxgxfnn由题设及定理13.9知，g在[a,b]连续．先证：{fn}在[a,b]收敛．对任何x∈[a,b]，由牛顿-莱布尼兹公式，总有.d)()()(00xxnnnttfxfxf因为fn'(x)在[a,b]上连续，由定理13.10，得)(limxfnnxxnnnnttfxf0d)(lim)(lim0xxnnttfA0d)(lim.d)(0xxttgA所以极限)(limxfnn存在，设.)()(limxfxfnn首页×于是.d)()(d)()(000xxxxttgxfttgAxf由于g在[a,b]上连续，再由微积分基本定理，得)(ddxfxxxttgx0d)(dd)(xg.)(ddlimxfxnn即.)(ddlim))(lim(ddxfxxfxnnnn证毕．首页×二、一致收敛函数项级数的性质定理13.12（连续性）若函数项级数∑un(x)在[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在[a,b]上也连续．在定理的条件下，求和运算与求极限运算可以交换顺序，即.)(lim)(lim1100nnxxnnxxxuxu首页×定理13.13（逐项求积）若函数项级数∑un(x)在[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则.d)(d)(11bannnbanxxuxxu首页×定理13.14（逐项求导）若x0∈[a,b]为∑un(x)的收敛点，un(x)(n=1,2,...)在[a,b]上有连续的导数，∑un'(x)在[a,b]上一致收敛，则.)(dd)(dd11nnnnxuxxux首页×例3设.,2,1,)1ln(1)(223nxnnxun证明函数项级数∑un(x)[0,1]上一致收敛，并讨论其和函数在[0,1]上的连续性，可积性与可微性．