八年级下学期数学提高题训练

第1页（共4页）八年级下学期数学提高题训练一．解答题（共7小题）1．（1）已知|2012﹣x|+=x，求x﹣20132的值；（2）已知a＞0，b＞0且（+）=3（+5）．求的值．2．如图，AB⊥MN于A，CD⊥MN于D．点P是MN上一个动点．（1）如图①．BP平分∠ABC，CP平分∠BCD交BP于点P．若AB=4，CD=6．试求AD的长；（2）如图②，∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，若AB=4，求CD的长．第2页（共4页）3．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：BE=（AB+AC）．4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．第3页（共4页）5．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A（0，4），交x轴于点B．（1）求直线AB的表达式和点B的坐标；（2）直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n．①用含n的代数式表示△ABP的面积；②当S△ABP=8时，求点P的坐标；③在②的条件下，以PB为斜边在第一象限作等腰直角△PBC，求点C的坐标．6．某开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：员工管理人员普通工作人员人员结构总经理部门经理科研人员销售人员高级技工中级技工勤杂工员工数/名1423223每人月工资/元2100084002025220018001600950请你根据上述内容，解答下列问题：（1）该公司“高级技工”有人；（2）该公司的工资极差是元；（3）小张到这家公司应聘普通工作人员，咨询过程中得到两个答案，你认为用哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些？（4）去掉最高工资的前五名，再去掉最低工资的后五名，然后算一算余下的40人的平均工资，说说你的看法．第4页（共4页）7．如图，以等边△OAB的边OB所在直线为x轴，点O为坐标原点，使点A在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB边长为6个单位，点P从O点出发沿折线OAB向B点以3单位/秒的速度向B点运动，点Q从O点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA向A点运动，两点同时出发，运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止．①点A坐标为，P、Q两点相遇时交点的坐标为；②当t=2时，S△OPQ=；当t=3时，S△OPQ=；③设△OPQ的面积为S，当0＜t≤3时试求S关于t的函数关系式；④当t=2时，试求在y轴上能否找一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，若能找到请求出M点的坐标，若不能找到请简单说明理由．第5页（共4页）参考答案与试题解析一．解答题（共7小题）1．【解答】解：（1）∵x﹣2013≥0，∴x≥2013．∴x﹣2012+=x．∴=2012．∴x﹣2013=20122．∴x=20122+2013．∴x﹣20132=20122﹣20132+2013=﹣（2012+2013）+2013=﹣2012．（2）∵（+）=3（+5），∴a+=3+15b，∴a﹣2﹣15b=0，∴（﹣5）（+3）=0，∵a＞0，b＞0，∴﹣5=0，∴a=25b，∴原式===2．2【解答】解：（1）过点P作PE⊥BC于E，过点B作BF⊥CD于F，∵AB⊥MN于A，CD⊥MN于D，BP平分∠ABC，∴AP=PE，在Rt△ABP和Rt△EBP中，，∴Rt△ABP≌Rt△EBP，∴AB=BE=4，同理可得CE=CD=6，∴BC=BE+CE=10，易证四边形ABFD是矩形，∴BF=AD，CF=6﹣4=2，∴AD==4；（2）延长CB和PA，记交点为点Q．∵∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，∴QB=BC（等腰三角形“三合一”的性质）．第6页（共4页）∵BA⊥MN，CD⊥MN，∴AB∥CD，∴△QAB∽△QDC，∴，∴CD=2AB=2×4=8．3．【解答】证明：（1）∵DA平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD∥EM，∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．∵EF∥CG，∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，∴∠G=∠ACG，∴AG=AC，∵BM=CM．EM∥CG，∴BE=EG，∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．4．【解答】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，MN=AD，在RT△ABC中，∵M是AC中点，∴BM=AC，∵AC=AD，第7页（共4页）∴MN=BM．（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=AC=1，∴BN=5．【解答】解：（1）∵把A（0，4）代入y=﹣x+b得b=4∴直线AB的函数表达式为：y=﹣x+4．令y=0得：﹣x+4=0，解得：x=4∴点B的坐标为（4，0）．（2）①∵l垂直平分OB，∴OE=BE=2．∵将x=2代入y=﹣x+4得：y=﹣2+4=2．∴点D的坐标为（2，2）．∵点P的坐标为（2，n），∴PD=n﹣2．∵S△APB=S△APD+S△BPD，∴S△ABP=PD•OE+PD•BE=（n﹣2）×2+（n﹣2）×2=2n﹣4．②∵S△ABP=8，∴2n﹣4=8，解得：n=6．∴点P的坐标为（2，6）．③如图1所示：过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N．设点C（p，q）．∵△△PBC为等腰直角三角形，PB为斜边，∴PC=PB，∠PCM+∠MCB=90°．∵CM⊥l，BN⊥CM，∴∠PMC=∠BNC=90°，∠MPC+∠PCM=90°．∴∠MPC=∠NCB．第8页（共4页）在△PCM和△CBN中，，∴△PCM≌△CBN．∴CM=BN，PM=CN．∴，解得．∴点C的坐标为（6，4）．如图2所示：过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N．设点C（p，q）．∵△△PBC为等腰直角三角形，PB为斜边，∴PC=PB，∠PCM+∠MCB=90°．∵CM⊥l，BN⊥CM，∴∠PMC=∠BNC=90°，∠MPC+∠PCM=90°．∴∠MPC=∠NCB．在△PCM和△CBN中，，∴△PCM≌△CBN．∴CM=BN，PM=CN．∴，解得．∴点C的坐标为（0，2）（不合题意）．综上所述点C的坐标为（6，4）．【解答】解：（1）50﹣1﹣4﹣2﹣3﹣22﹣3=15人（2分）（2）21000﹣950=20050元（4分）（3）员工的说法更合理些．这组数据的平均数是2606元，中位数是1700元，众数是1600元由于个别较大数据的影响，平均数不能准确地代表平近水平，此时中位数或众数可以较好的反映工资的平均水平，因此员工的说法更合理一些．（9分）第9页（共4页）（4）（元）这样计算更能代表员工的平均工资水平．（12分）7．【解答】解：①过点A作AD⊥x轴于点D，过P、Q的交点作PC⊥x轴于点C，如图1所示．∵△AOB为等边三角形，△OAB边长为6个单位，∴AD=OA•sin60°=3，AD=OB=3，∴点A的坐标为（3，3）；当P、Q点相遇时点Q走过的路程为3×6÷（3+2）×2=，PB=﹣OB=，∴BC=PB•cos60°=，PC=PB•sin60°=，∴OC=OB﹣BC=．即P、Q相遇的坐标为（，）．故答案为：（3，3）；（，）．②依照题意画出图形，如图2所示．当t=2时，点P运动到了A点处，OQ=4，S△OPQ=OA•OQ•sin∠AOQ=×6×4×=6；当t=3时，点Q运动到了B点处，AP=3×3﹣OA=3，∵△OAB为等边三角形，且AB=6，∴此时P点为线段AB的中点，∴OP⊥AB，且∠POB=∠AOB=30°，∴OP=OB•sin∠ABO=3，第10页（共4页）S△OPQ=OP•OB•sin∠POB=×3×6×=．故答案为：6；．③由②知当t=2时，P点运动到A点，故分两种情况考虑：当0＜t≤2时，OP=3t，OQ=2t，S=OP•OQ•sin∠AOB=×3t×2t×=；当2＜t≤3时，OP=3t，OQ=2t，AP=OP﹣OA=3t﹣6，BP=AB﹣AP=12﹣3t，S=OQ•BP•sin∠ABO=×2t×（12﹣3t）×=﹣+6t．综上可知：S关于t的函数关系式为S=．④假设存在，当t=2时，点P坐标为（3，3），点Q的坐标为（4，0），设点M的坐标为（0，m）．根据两点间的距离公式可知：PQ==2，PM=，QM=，以M、P、Q为顶点的三角形是直角三角形分三种情况：当PQ为斜边时，由勾股定理得PM2+QM2=PQ2，即9++16+m2=28，方程无解；当PM为斜边时，由勾股定理得PQ2+QM2=PM2，即28+16+m2=9+，解得：m=﹣，此时点M的坐标为（0，﹣）；当QM为斜边时，由勾股定理得PQ2+PM2=QM2，即28+9+=16+m2，解得：m=，此时点M的坐标为（0，）．故当t=2时，在y轴上能找到一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，点M的坐标为（0，﹣）或（0，）．【点评】本题考查了解直角三角形、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、两点间的距离公式以及勾股定理，解题的关键是：①在直角三角形中借助特殊角的三角函数值求线段；②套用面积公式求面积；③分段寻找S关于t的函数关系式；④由两点间的距离公式结合勾股定理列出关于m的一元二次方程．本题属于难题，①②难度不大；③巧妙的用边乘角的正弦值来代替，使得运算量大大较少；④用到了两点间的距离公式，在作图寻找中往往会落下一两种情况，虽说两点间的距离公式为高中内容，但在日常教学中，初中的老师们往往会将此方法求距离教给学生们．