平面一般力系

平面一般力系力的平移定理平面力系简化平衡方程有什么特点？各力的作用线不汇交于一点请Shift+F5平面一般力系——各力的作用线都在同一平面内，但既不汇交于一点，也不平行。｛F1，F2，···Fn｝平面汇交力系和平面力偶系是平面一般力系的特例。平面一般力系是工程中最常见的力系。······一、力的平移定理作用在刚体上的力F，可以平移到同一刚体上的任一点O，但必须同时增加一附加力偶，附加力偶的力偶矩M等于原力F对新作用点O之矩。这就是力的平移定理。F'F'dMF''FFOOOAAA这就相当于把力F移到了O点，同时增加了一个附加力偶，其力偶矩为：M=MO(F)=F·d把F由原来的A点平移到O点，可以吗？根据加减平衡力系公理，在O点加上一对与F平行且等值、反向力F’和F”,使F=F’=F”,则F和F”构成了一个力偶，其附加力偶矩为：M=F·d力的平移定理由此得证请Shift+F5问题：力F对齿轮和轴各有什么作用？rOFM动画力的平移定理应用在原力F作用下齿轮会转轴会弯曲请Shift+F5（1）为什么钉子有时会折弯？（2）乒乓球为什么会旋转？FF’MMFF’晕！锤子砸偏了力的平移定理应用请Shift+F5MMFF力的平移定理应用（3）攻丝时为什么要用两只手？平衡力系请Shift+F5MF力的平移定理应用（4）攻丝时用一只手行吗？在F作用下丝锥会断力不平衡问题1：图中的平面一般力系对刚体的作用效果是怎样的？问题2：能否将平面一般力系｛F1，F2···Fn｝中各力都向刚体的某点平移？假如可以的话，就能够像平面汇交力系那样，对各力进行合成了。刚体平衡吗？——不知道！平面一般力系可以直接合成吗？平面一般力系不是汇交力系，不可以直接合成！OABN力的平移定理应用（简化中心）｛F1，F2···Fn｝请Shift+F5二、平面一般力系的简化（一）平面一般力系的主矢与主矩设在刚体上作用有一平面一般力系{F1,F2,···Fn}（如图a）。在该力系所在的平面内任取一点O，该点称为简化中心。应用力的平移定理，将力系中的各力都平移到O点，于是就得到一个汇交于O点的平面汇交力系{F1’,F’2,···F’n}和一个力偶矩分别为{M1,M2,···Mn}的附加力偶系（如图b）。将各力和各力偶矩分别合成，可得到一个力和一个力偶（如图c）。O为任意点图a图b图c力的平移定理应用平面一般力系的简化过程F’O为任意点平面一般力系（未知力系）向一点简化平面汇交力系+平面力偶系（可知力系）平面汇交力系合力F’，作用于简化中心O；平面力偶系合力偶，其力偶矩MO，作用于刚体平面。{F1,F2,···Fn}{F1’,F’2,···F’n}+{M1,M2,···Mn}合成合成所得平面汇交力系（F1’,F2’,···Fn’）可以合成为一个作用于O点的合矢量F’：F’=∑Fi’=∑Fi合矢量F’称为原平面一般力系对简化中心O的主矢（如图c）。所得的平面附加力偶系（M1,M2,···Mn）可以合成为一个的力偶,其力偶矩MO等于各力对简化中心O之矩的代数和：MO=∑MO(Fi)=∑Fi·di力偶矩MO称为原平面一般力系对简化中心O的主矩。图a图b图c思考：平面一般力系的主矢是否就是该力系简化后的合力？主矢和合力有何区别？主矢是原力系｛F1，F2，…Fn｝中各力的矢量和。主矢是自由矢量，只有大小、方向，而不涉及作用点，是一个自由矢量，与简化中心无关。合力为作用点在简化中心O的力矢量。合力的大小、方向与主矢一致，与原力系等效，有大小、方向、作用点，是滑移矢量。只有求出合力，才能知道主矢的大小和方向。平面一般力系简化的结论——1、平面一般力系向作用平面内任一点O简化后，可得到一个力和一个力偶。2、这个力的大小和方向与原力系的主矢相同，作用于简化中心O点；3、这个力偶的力偶矩等于原力系对简化中心O点的主矩，大小为原力系中各力对简化中心O点之矩的代数和；4、主矢与简化中心的选择无关。但一般情况下，平面力系的主矩与简化中心的选择有关。力的平移定理的性质：问题1：为什么平面一般力系的主矢与简化中心的选择无关，而主矩与简化中心的选择有关？􀂉答：这就要看，把作用在刚体上某点的力F平行移到其它点，所得的力和附加力偶是否相同？当力F平移时，①力的大小、方向都不改变；②一般情况下，附加力偶的力偶矩的大小、正负都要随新指定点的位置的不同而不同。下面我们就来证明——请Shift+F5F1AFCBF1F3F2AF1F3F2AF3F2FAF1F3F2FO1F1F3F2FO2F1F3F2FO3F3F2F有一力系作用于刚体平面内将各力向A点简化并求出合力这是求合力的方法之一F1无论将力系向刚体内的哪一点简化，合力的大小、方向都不会变化。所以说主矢与简化中心的选择无关。那么，主矩又会怎样呢？将力系向刚体内的另一点简化AF1F3F2FO1F1F3F2FO2F1F3F2FO3F3F2FF1显然，M1=-F·d1（顺时针）M2=-F·d2（顺时针）M3=+F·d3（逆时针）选择不同的简化中心，各力对A点的力臂都不同，转向也不同，就是说M1≠M2≠M3。因此，在一般情况下，平面力系的主矩和简化中心的选择有关。AFO1FO2FO3F“在一般情况下……”那么，特殊情况呢？当O1、O2、O3选在原合力F的作用线上时，M1=M2=M3=0力的平移定理的性质：问题2：如刚体上某点B处作用一力和一力偶，是否可利用“力的平移定理”还原一个等效的力？􀂉答：力的平移定理是可逆的。根据力向一点平移的逆过程，总可以将同平面内的一个力F'和力偶矩为MO的力偶还原为一个力F，此力F与原力F'大小相等、方向相同、作用线间的距离为d=MO/F'，至于F在F'的哪一侧，则视F'的方向和MO的转向而定。小实验平面一般力系的简化结果分析：平面一般力系向一点简化，一般可得到一个主矢F'和一个主矩MO，但这不是最终简化结果，最终简化结果通常有以下四种情况：1、F'＝0，MO≠0表明原力系与一个力偶等效，原力系简化为一个合力偶，其力偶矩为MO＝∑MO(F)，此时主矩MO与简化中心的选择无关。2、F'≠0，MO＝0表明原力系与一个主矢量F'等效，即F'为原力系的合力，其作用线通过简化中心。3、F'≠0，MO≠0当平面一般力系的主矢及对简化中心的主矩都不等于零时，根据力的平移定理的逆过程，可以将F'和MO合成为一个合力。将作用线通过O点的力F'及矩为MO的力偶合成为一个作用线通过A点的一个力，此力即为原力系的合力。如图所示，且有F=F'=ΣFi合力的大小、方向与原力系的主矢相同，合力F是在主矢F'的哪一侧，则要根据主矩的正负号来确定。合力F'的作用线到简化中心O的距离为：'OMdF4、F'＝0，MO＝0表明原力系为平衡力系，则刚体在此力系作用下处于平衡状态。平面一般力系由O点向任意点O’简化：｛F1，F2···Fn｝简化得｛F’，MO’｝MO’=MO±F’·d（如图所示）故，只要平面一般力系向某一点简化的结果为：F’＝0，MO＝0则，该力系向任一点的简化结果都为：F’＝0，MO＝0在O’加上一对大小均为F’的平衡力，但同时又得到了一对力偶，其力偶矩为F’·d。合成后得：MO’=MO±F’·d1、一平面一般力系向点O简化时，主矢F'≠0，主矩MO=0。若将该力系向另一点K简化，其主矢和主矩是：A、可能为F'≠0，MK≠0；B、可能为F'=0，MK≠MO；C、可能为F'=0，MK=MO；D、不可能为F'≠0，MK≠MO。答案：A解答：平面一般力系中，主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关。就是说，改变简化中心的位置不会改变主矢，只会改变主矩。已知主矢F'≠0，即使向点K简化，仍然F'≠0，所以B、C答案被排除。D答案是说：不可能为F'≠0（就是说F'=0），不满足上述条件。力系由点O向点K简化的结果有两种可能：1）F'≠0，MK≠0；（即A答案）2）F'≠0，MK=0。（点K在主矢的作用线上，且主矢作用线通过简化中心。）简化结果应用举例2、一平面一般力系向点O简化时，主矢F'≠0，主矩MO≠0。若将该力系向另一点K简化，其主矢和主矩是：A、可能为F'=0，MK≠0；B、可能为F'≠0，MK=0；C、不可能为F'≠0，MK≠MO；D、可能为F'≠0，MK≠MO。解答：要看点K是否在主矢作用线上。点K若在主矢作用线上，则结果为MK=MO，点K若不在主矢作用线上，则结果为MK≠MO（包括MK=0）。答案：B、D简化结果应用举例3、一平面一般力系向点O简化时，主矢F'=0，主矩MO≠0。若将该力系向另一点K简化，其主矢和主矩是：A、F'≠0，MK≠0；B、F'≠0，MK=MO；C、F'=0，MK=MO；D、F'=0，MK≠MO。答案：C为什么不选D？解答：平面一般力系被简化为一力偶，此时主矩与简化中心所取位置无关。主矢总是零（即F’=0），而力偶可以放在平面内任意一点，即力偶对于平面内任一点的力偶矩都相同（即MK=MO）。简化结果应用举例三、平面一般力系的平衡条件当主矢和主矩都等于零时，则说明这一任意力系是平衡力系；反之，若平面一般力系是平衡力系，则它向任意点简化的主矢和主矩必同时为零。所以，平面一般力系平衡的充要条件为：力系的主矢及力系对任一点的主矩均为零，即：F=0MO=0上式就是平面一般力系的平衡方程。它表明，平面一般力系平衡时，力系中各力在任选的直角坐标系的两个坐标轴上投影的代数和分别为零，各力对任意点之矩也为零。该式最多可解出三个未知量。此外，还有二矩式和三矩式平衡方程。22 00()()00000()0OxyxyixiyOiFMFFFFFFFMF根据平面任意力系的平衡条件：，上式可写为：平衡方程的其他形式：①二力矩式的平衡方程是由一个投影方程和两个力矩方程所组成，可写为：∑Fix=0∑MA(Fi)=0∑MB(Fi)=0（注意：A、B两点的连线不能与x轴垂直）思考：应用二矩式平衡方程时，为何A、B连线不能垂直于x轴由∑MA(F')=0，∑MB(F')=0可知，力F'的作用线同时通过A、B两点，所以该力系不可能被简化为一个力偶，只能简化为过A、B两点连线的合力或者处于平衡状态。（注：当方程组中为∑Fy=0时，A、B连线不能垂直于y轴）细说——若力系向A点简化，假设合力F’的作用线不通过A、B连线（如左图）：∑MA(F’)=0？？：当F'对A点取矩时，MA≡0，∑MA(F')=0成立；∑MB(F’)=0？？：当F'对B点取矩时，MB＝F'·d≠0，∑MB(F')=0不成立。要使MB=0，只有使F'的作用线通过A、B连线或者F’=0；∑Fx=0：即∑Fx=F'cosφ=0，只有当cosφ≠0时，才能肯定F'=0。因此必须φ≠90°，即A、B连线不能垂直于x轴(如右图)。②三力矩式的平衡方程是由三个力矩方程所组成，可写为：∑MA(Fi)=0∑MB(Fi)=0∑MC(Fi)=0（注意：A、B、C三点不能在一条直线上）细说：A、B、C三点不能共线三矩式平衡方程：∑MA(Fi)=0∑MB(Fi)=0∑MC(Fi)=0A、B、C三点不能在同一直线上。思考：应用三矩式方程时，为何A、B、C三点不能在同一直线上？由前两式可知，力系不可能简化为一力偶，只能简化为作用线过A、B两点的一个合力或处于平衡状态，再如果∑MC(Fi)=0，力系只能简化为过A、B、C三点的一个合力F'或处于平衡状态，若三点不在同一直线上，则唯一的可能就是力系平衡（合力F'=0），如图。如果A、B、C三点不共线，显然∑MA(Fi)=0，∑MB(Fi)=0，但要使各力对C点之矩∑MC(Fi)=0，只能是合力F'=0，即刚体处于平衡状态。（由于C点与A、B不共线，要使∑MC(Fi)=0，只能是合力F'=0，即∑Fx=0、∑Fy=0，三矩式方程又变回到前面的二矩式方程了）如果A、B、C三点共线，显然∑MA(Fi)=0，∑MB(Fi)=0，∑MC(Fi)=0，但是否F’=0，无法判断!即不能肯定刚体是否平衡。应用平面一般力系平衡方程解题的技巧步骤如下：（1）确定研究