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1第三章三角函数、解三角形(自我评估、考场亮剑,收获成功后进入下一章学习!)(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.cos(-17π4)-sin(-17π4)的值是()A.2B.-2C.0D.22解析:原式=cos(-4π-π4)-sin(-4π-π4)=cos(-π4)-sin(-π4)=cosπ4+sinπ4=2.答案:A2.已知sinα=2m-5m+1,cosα=-mm+1,且α为第二象限角,则m的允许值为()A.52<m<6B.-6<m<52C.m=4D.m=4或m=32解析:由sin2α+cos2α=1得,(2m-5m+1)2+(-mm+1)2=1,∴m=4或32,又sinα>0,cosα<0,把m的值代入检验得,m=4.答案:C3.已知sin(x+π4)=-35,则sin2x的值等于()A.-725B.725C.-1825D.1825解析:sin(x+π4)=22(sinx+cosx)=-35,所以sinx+cosx=-325,2所以(sinx+cosx)2=1+sin2x=1825,故sin2x=-725.答案:A4.设a=sin15°+cos15°,b=sin17°+cos17°,则下列各式中正确的是()A.a<a2+b22<bB.a<b<a2+b22C.b<a2+b22<aD.b<a<a2+b22解析:a=2sin(15°+45°)=2sin60°,b=2sin(17°+45°)=2sin62°,b>a.a2+b22=sin260°+sin262°>2sin60°sin62°=3sin62°,∴a2+b22>b>a.答案:B5.(2010·惠州模拟)将函数y=sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函数y=sin(x-π6)的图象,则φ等于()A.π6B.11π6C.7π6D.5π6解析:依题意得y=sin(x-π6)=sin(x-π6+2π)=sin(x+11π6),将y=sinx的图象向左平移11π6个单位后得到y=sin(x+11π6)的图象,即y=sin(x-π6)的图象.答案:B6.在△ABC中,角A,B均为锐角,且cosA>sinB,则△ABC的形状是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析:cosA=sin(π2-A)>sinB,π2-A,B都是锐角,则π2-A>B,A+B<π2,C>π2.答案:C7.(理)给定性质:①最小正周期为π;②图象关于直线x=π3对称.则下列四个函数中,同时具有性质①②的是()A.y=sin(x2+π6)B.y=sin(2x+π6)C.y=sin|x|D.y=sin(2x-π6)解析:∵T=2πω=π,∴ω=2.对于选项D,又2×π3-π6=π2,所以x=π3为对称轴.3答案:D8.(文)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为()A.518B.34C.32D.78解析:设等腰三角形的底边为a,顶角为θ,则腰长为2a.由余弦定理得cosθ=4a2+4a2-a28a2=78.答案:D(理)△ABC的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为13,则其外接圆的半径为()A.922B.924C.928D.92解析:由余弦定理得:三角形第三边长为22+32-2×2×3×13=3,且第三边所对角的正弦值为211()3=223,所以2R=3223⇒R=928.答案:C9.在△ABC中,角A,B所对的边长为a,b,则“a=b”是“acosA=bcosB”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:a=b⇒A=B⇒acosA=bcosB,条件是充分的;acosA=bcosB⇒sinAcosA=sinBcosB⇒sin2A=sin2B⇒2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=π2,故条件是不必要的.答案:A10.已知函数f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为x=π12,则a的值为()A.12B.3C.33D.2解析:函数y=sinx的对称轴方程为x=kπ+π2,k∈Z,f(x)=a2+1sin(2x+φ),其中tanφ=1a,故函数f(x)的对称轴方程为2x+φ=kπ+π2,k∈Z,而x=π12是其一条对称轴4方程,所以2×π12+φ=kπ+π2,k∈Z,解得φ=kπ+π3,k∈Z,故tanφ=1a=tan(kπ+π3)=3,所以a=33.答案:C11.已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为()A.f(x)=2cos(x2-π3)B.f(x)=2cos(4x+π4)C.f(x)=2sin(x2-π6)D.f(x)=2sin(4x+π4)解析:设函数f(x)=Asin(ωx+φ),由函数的最大值为2知A=2,又由函数图象知该函数的周期T=4×(5π3-2π3)=4π,所以ω=12,将点(0,1)代入得φ=π6,所以f(x)=2sin(12x+π6)=2cos(12x-π3).答案:A12.(2010·抚顺模拟)当0<x<π2时,函数f(x)=1+cos2x+8sin2xsin2x的最小值为()A.2B.23C.4D.43解析:f(x)=1+cos2x+8sin2xsin2x=2cos2x+8sin2x2sinxcosx=cosxsinx+4sinxcosx≥2cosxsinx·4sinxcosx=4,当且仅当cosxsinx=4sinxcosx,即tanx=12时,取“=”,∵0<x<π2,∴存在x使tanx=12,这时f(x)min=4.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,将答案填写在题中的横线上)13.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,C=75°,a=4,则b=________.解析:易知A=45°,由正弦定理asinA=bsinB得4sin45°=bsin60°,解得b=26.答案:2614.计算:cos10°+3sin10°1-cos80°=________.5解析:cos10°+3sin10°1-cos80°=2cos(10°-60°)2sin240°=2cos50°2sin40°=2.答案:215.在△ABC中,已知tanA=3tanB,则tan(A-B)的最大值为________,此时角A的大小为________.解析:由于tan(A-B)=tanA-tanB1+tanAtanB=3tanB-tanB1+3tanB·tanB=2tanB1+3tan2B≤33.当且仅当1=3tanB时取“=”号,则tanB=33⇒tanA=3⇒A=60°.答案:3360°16.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π),x∈R的部分图象,则下列命题中,正确命题的序号为________.①函数f(x)的最小正周期为π2;②函数f(x)的振幅为23;③函数f(x)的一条对称轴方程为x=7π12;④函数f(x)的单调递增区间为[π12,7π12];⑤函数的解析式为f(x)=3sin(2x-2π3).解析:由图象可知,函数f(x)的最小正周期为(5π6-π3)×2=π,故①不正确;函数f(x)的振幅为3,故②不正确;函数f(x)的一条对称轴方程为x=5π6+π32=7π12,故③正确;④不全面,函数f(x)的单调递增区间应为[π12+2kπ,7π12+2kπ],k∈Z;由3sin(2×7π12+φ)=3得2×7π12+φ=π2+2kπ,k∈Z,即φ=2kπ-2π3,k∈Z,∵-π<φ<π,故k取0,从而φ=-2π3,故f(x)=3sin(2x-2π3).答案:③⑤三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知tan(α+π4)=-3,α∈(0,π2).(1)求tanα的值;(2)求sin(2α-π3)的值.6解:(1)由tan(α+π4)=-3可得tanα+11-tanα=-3.解得tanα=2.(2)由tanα=2,α∈(0,π2),可得sinα=255,cosα=55.因此sin2α=2sinαcosα=45,cos2α=1-2sin2α=-35,sin(2α-π3)=sin2αcosπ3-cos2αsinπ3=45×12+35×32=4+3310.18.(文)(本小题满分12分)已知sin(π-α)=45,α∈(0,π2).(1)求sin2α-cos2α2的值;(2)求函数f(x)=56cosαsin2x-12cos2x的单调递增区间.解:∵sin(π-α)=45,∴sinα=45.又∵α∈(0,π2),∴cosα=35.(1)sin2α-cos2α2=2sinαcosα-1+cosα2=2×45×35-1+352=425.(2)f(x)=56×35sin2x-12cos2x=22sin(2x-π4).令2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π8≤x≤kπ+38π,k∈Z.∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ-π8,kπ+38π],k∈Z.(理)(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sinxcosx+3(2cos2x-1).(1)将函数f(x)化为Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的形式,填写下表,并画出函数f(x)在区间[-16π,56π]上的图象;7xωx+φ0π2π32π2πf(x)(2)求函数f(x)的单调减区间.解:(1)f(x)=2sinxcosx+3(2cos2x-1)=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π3).x-π6π12π37π125π6ωx+φ0π2π32π2πf(x)020-20图.(2)由2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2(k∈Z)得kπ+π12≤x≤kπ+7π12(k∈Z),故函数f(x)的单调减区间为[kπ+π12,kπ+7π12](k∈Z).19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sinxcos(π2-x)-3sin(π+x)cosx+sin(π2+x)cosx.8(1)求函数y=f(x)的最小正周期和最值;(2)指出y=f(x)图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称.解:(1)f(x)=2sin2x+3sinxcosx+cos2x=1+sin2x+3sinxcosx=1+1-cos2x2+32sin2x=sin(2x-π6)+32,y=f(x)最小正周期T=π.y=f(x)的最大值为32+1=52,最小值为32-1=12.(2)∵y=32+sin(2x-π6)的图象1232左移个单位下移个单位y=sin2x的图象.20.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosA+C2=33.(1)求cosB的值;(2)若BCBA·BC=2,b=22,求a和c的值.解:(1)∵cosA+C2=33,∴sinB2=sin(π2-A+C2)=33,∴cosB=1-2sin2B2=13.(2)由BA·BC=2可得a·c·cosB=2,又cosB=13,故ac=6,由b2=a2+c2-2accosB可得a2+c2=12,∴(a-c)2=0,故a=c,∴a=c=6.21.(本小题满分12分)如图所示,甲船由A岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行,速度为152海里/小时,在甲船从A岛出发的同时,乙船从A岛正南40海里处的B岛出发,朝北偏东θ(tanθ=12)的方向作匀速直线航行,速度为105海里/小时.(1)求出发后3小时两船相距多少海里?(2)求两船出发后多长时间距离最近?最近距离为多少海里?9解:以A为原点,BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1,y1),Q(x2,y2).则x1=152tcos45°=15ty1=x1=15t,由tanθ=12可得,cosθ=255,sinθ=55,故x2=105tsinθ=10t
本文标题:2011创新方案高考数学复习精编(人教新课标)--3三角函数、解三角形_质量检测
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