2013年数学高考备考二轮复习 第二部分 第3讲 分类讨论思想

第3讲分类讨论思想C．当a≠0)，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的A．当a0时，x1＋x20，y1＋y20B．当a0时，x1＋x20，y1＋y20时，x1＋x20，y1＋y20D．当f(x)＝m时，0m141．(2012年山东)设函数f(x)＝1x，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()1－316，0解析：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当a0时，要想满足条件，则有如图D57，图D57作出点A关于原点的对称点C，则点C坐标为(－x1，－y1)，由图象，知－x1x2，－y1y2，即x1＋x20，y1＋y20，同理当a0时，则有x1＋x20，y1＋y20.故选B.答案：B2．(2012年浙江)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种解析：从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类：第一类是当取得4个偶数时，有C44＝1(种)结果；第二类是当取得4个奇数时，有C45＝5(种)结果；第三类是当取2奇2偶时，有C24C25＝60(种)结果．∴共有1＋5＋60＝66(种)结果．D)则实数a＝(A．－4或－2C．－2或4B．－4或2D．－2或23．(2011年浙江)设函数f(x)＝若f(a)＝4，－x，x≤0，x2，x0.－x，x≤0，x2，x0.B解析：当a≤0时，f(a)＝－a＝4，a＝－4；当a0时，f(a)＝a2＝4，a＝2.4．(2012年江西)在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为___________．解析：原不等式等价为x－12＋x＋12≤3.方法一：①当x－12时，不等式等价为－x－12－x＋12≤3，即－2x≤3，x≥－32，此时－32≤x－12；②当－12≤x≤12时，不等式等价为12－x＋x＋12≤3，即1≤3，恒成立，此时－12≤x≤12；③当x12时，不等式等价为x－12＋x＋12≤3，即2x≤3，x≤32，此时12x≤32.综上所述，不等式的解集为x－32≤x≤32.方法二：利用绝对值的几何意义，不等式x－12＋x＋12≤3的几何意义是数轴上的点x到点－12，12的距离之和小于等于3的解．当x＝－32或x＝32时有x－12＋x＋12＝3，所以x－12＋x＋12≤3的解为－32≤x≤32，所以不等式的解集为x－32≤x≤32.答案：x－32≤x≤321．分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．2．分类原则：(1)确定分类对象，标准统一．(2)不重复，不遗漏．(3)讨论注意简化或避免分类讨论．3．分类讨论的一般步骤：(1)确定讨论对象和确定研究的全域．(2)进行科学分类(按照某一确定的标准在比较的基础上分类)，“比较”是分类的前提，“分类”是比较的结果．分类时，应不重复，不遗漏．(3)逐类讨论．(4)归纳小结，整合得出结论．4．引起分类讨论的原因，通常有以下几种：(1)由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角和斜率的定义．(2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等．(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．(5)由参数的变化引起的分类讨论，某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，应用问题等．由数学概念引起的分类讨论由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、分段函数、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、斜率的定义等．的值域是()例1：已知函数f(x)＝12(sinx＋cosx)－12|sinx－cosx|，则f(x)A．[－1,1]B.－22，1C.－1，22D.－1，－22解析：f(x)＝12(sinx＋cosx)－12|sinx－cosx|＝答案：C【思维点拨】本题考查绝对值的定义，当sinx≥cosx时，|sinx－cosx|＝sinx－cosx;当sinxcosx时，|sinx－cosx|＝cosx－sinx，然后利用图象求其值域．cosxsinx≥cosx，sinxsinxcosx.cosxsinx≥cosx，sinxsinxcosx.即等价于{sinx，cosx}min.故选C.【配对练习】1．(2012年安徽)设函数f(x)＝(1)求函数f(x)的最小正周期；22cos2x＋π4＋sin2x.(2)设函数g(x)对任意x∈R，有gx＋π2＝g(x)，且当x∈0，π2时，g(x)＝12－f(x)，求函数g(x)在[－π，0]上的解析式．解：f(x)＝22cos2x＋π4＋sin2x＝12cos2x－12sin2x＋12(1－cos2x)＝12－12sin2x.(1)函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)当x∈0，π2时，g(x)＝12－f(x)＝12sin2x.当x∈－π2，0时，x＋π2∈0，π2，g(x)＝gx＋π2＝12sin2x＋π2＝－12sin2x；当x∈－π，－π2时，(x＋π)∈0，π2，g(x)＝g(x＋π)＝12sin2(x＋π)＝12sin2x.则函数g(x)在[－π，0]上的解析式为g(x)＝－12sin2x，－π2≤x≤0，12sin2x，－π≤xπ2.当x∈－π，－π2时，(x＋π)∈0，π2，g(x)＝g(x＋π)＝12sin2(x＋π)＝12sin2x.则函数g(x)在[－π，0]上的解析式：由公式、定理、性质的应用条件引起的分类讨论由公式、定理、性质的应用条件引起的分类讨论，如等比数列前n项和公式中的n≠1等．例2：设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0(n＝1,2,3，…)．(1)求q的取值范围；(2)设bn＝an＋2－32an＋1，{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小．解：(1)因为{an}是等比数列，Sn＞0，可得a1＝S1＞0，q≠0.当q＝1时，Sn＝na1＞0，当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＞0，即1－qn1－q＞0(n＝1,2,3，…)，则有1－q0，1－qn0，①或1－q0，1－qn0.②由①，得－1＜q＜1，由②，得q＞1.故q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)由bn＝an＋2－32an＋1＝anq2－32q，解：(1)因为{an}是等比数列，Sn＞0，可得a1＝S1＞0，q≠0.当q＝1时，Sn＝na1＞0，当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＞0，即1－qn1－q＞0(n＝1,2,3，…)，则有1－q0，1－qn0，①或1－q0，1－qn0.②由①，得－1＜q＜1，由②，得q＞1.故q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)由bn＝an＋2－32an＋1＝anq2－32q，则有1－q0，1－qn0，1－q0，1－qn0，①或1－q0，1－qn0.1－q0，1－qn0.②得Tn＝q2－32qSn.于是Tn－Sn＝Snq2－32q－1＝Snq＋12(q－2)，又Sn＞0且－1＜q＜0或q＞0，则当－1＜q＜－12或q＞2时，Tn－Sn＞0，即Tn＞Sn，当－12＜q＜2且q≠0时，Tn－Sn＜0，即Tn＜Sn，当q＝－12或q＝2时，Tn－Sn＝0,即Tn＝Sn.【配对练习】2．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋40恒成立，则m的取值范围是____________．解析：当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋40可化为：m－x＋4x.又函数f(x)＝－x＋4x在(1,2)上递增，则f(x)－5，即m≤－5.(－∞，－5]由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论一般由图形的位置或形状的变动引起的讨论包括：二次函数对称轴的变动；函数问题中区间的变动；函数图象形状的变动；直线由斜率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位置变动；立体几何中点、线、面的位置变动等．例3：多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图2，正方体的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到α的距离分别为1,2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面α的距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7.以上结论正确的为______________(写出所有正确结论的编号)．图2解析：如图2，B，D，A1到平面α的距离分别为1,2,4，则D，A1的中点到平面α的距离为3，所以D1到平面α的距离为6；B，A1的中点到平面α的距离为，所以B1到平面α的距离为5；52答案：①③④⑤则D，B的中点到平面α的距离为32，所以C到平面α的距离为3；C，A1的中点到平面α的距离为72，所以C1到平面α的距离为7.而P为C，C1，B1，D1中的一点．所以选①③④⑤.【配对练习】3．已知线段AB在平面α外，A，B两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面α的距离为________．解析：分线段AB两端点在平面同侧和异侧两种情况解决．1或2例4：(2012年广东广州二模)已知函数，由参数的取值范围引起的分类讨论含参数的问题，主要包括：含参数的不等式的求解；含参数的方程的求解；含参数的最值与单调性问题等．求解时，要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同范围进行分类讨论，分类要合理，要不重不漏，要符合最简原则．a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使得函数f(x)的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．f(x)＝lnx－12ax2＋x解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ax＋1＝－ax2－x－1x.①当a＝0时，f′(x)＝1＋xx，∵x0，∴f′(x)0.∴函数f(x)单调递增区间为(0，＋∞)．②当a0时，由于x0，于是－ax2＋x＋10，∴f′(x)0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．③当a0时，令f′(x)0，得－ax2＋x＋10，得0x1＋1＋4a2a，即f(x)在0，1＋1＋4a2a上单调递增；令f′(x)0，得x1＋1＋4a2a，即f(x)在1＋1＋4a2a，＋∞上单调递减．(2)由(1)可知，当a0，x＝1＋1＋4a2a时，函数取到极大值，此时x→0，f(x)0，x→＋∞，f(x)0，∴f(x)＝0有两个不等的根，即f(x)＝lnx－12ax2＋x＝0有两个不相等的根．构造函数y＝lnx与y＝12ax2－x，则两图象有两个不同的交点，∵y＝lnx过点(1,0)，y＝12ax2－x的对