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数据、模型与决策线性规划LinearProgramming1.1LP的数学模型MathematicalModelofLP1.2图解法GraphicalMethod1.3标准型StandardformofLP1.4基本概念BasicConcepts1.5单纯形法SimplexMethod1.1数学模型MathematicalModel制作与教学线性规划LinearProgrammingPage32019年8月30日星期五1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运行等问题。例如,当任务或目标确定后,如何统筹兼顾,合理安排,用最少的资源(如资金、设备、原标材料、人工、时间等)去完成确定的任务或目标;企业在一定的资源条件限制下,如何组织安排生产获得最好的经济效益(如产品量最多、利润最大)。线性规划(LinearProgramming,缩写为LP)是运筹学的重要分支之一,在实际中应用得较广泛,其方法也较成熟,借助计算机,使得计算更方便,应用领域更广泛和深入。制作与教学线性规划LinearProgrammingPage42019年8月30日星期五【例1.1】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别需要要在设备A、B上加工,需要消耗材料C、D,按工艺资料规定,单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表1.1所示。已知在计划期内设备的加工能力各为200台时,可供材料分别为360、300公斤;每生产一件甲、乙、丙三种产品,企业可获得利润分别为40、30、50元,假定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划,使企业在计划期内总的利润收入最大?1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP1.1.1应用模型举例制作与教学线性规划LinearProgrammingPage52019年8月30日星期五产品资源甲乙丙现有资源设备A312200设备B224200材料C451360材料D235300利润(元/件)403050表1.1产品资源消耗1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP制作与教学线性规划LinearProgrammingPage62019年8月30日星期五321503040maxxxxZ0003005323605420042220023321321321321321xxxxxxxxxxxxxxx,,【解】设x1、x2、x3分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型为:1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP产品资源甲乙丙现有资源设备A312200设备B224200材料C451360材料D235300利润(元/件)403050最优解X=(50,30,10);Z=3400制作与教学线性规划LinearProgrammingPage72019年8月30日星期五线性规划的数学模型由决策变量Decisionvariables目标函数Objectivefunction及约束条件Constraints构成。称为三个要素。其特征是:1.解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数,通常是求最大值或最小值;2.解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。怎样辨别一个模型是线性规划模型?1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP制作与教学线性规划LinearProgrammingPage82019年8月30日星期五【例1.2】某商场决定:营业员每周连续工作5天后连续休息2天,轮流休息。根据统计,商场每天需要的营业员如表1.2所示。表1.2营业员需要量统计表商场人力资源部应如何安排每天的上班人数,使商场总的营业员最少。星期需要人数星期需要人数一300五480二300六600三350日550四4001.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP制作与教学线性规划LinearProgrammingPage92019年8月30日星期五【解】设xj(j=1,2,…,7)为休息2天后星期一到星期日开始上班的营业员,则这个问题的线性规划模型为7,,2,1,0550600480400350300300min765436543254321743217632176521765417654321jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZj1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP星期需要人数星期需要人数一300五480二300六600三350日550四400制作与教学线性规划LinearProgrammingPage102019年8月30日星期五1X10C1404=3001042X267C2301=30013X3146C3350=35004X4170C4400=40005X597C5480=48006X6120C6600=60007X717C7550=5500最优解:Z=617(人)制作与教学线性规划LinearProgrammingPage112019年8月30日星期五【例1.3】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根,这些轴的规格分别是1.5,1,0.7(m),这些轴需要用同一种圆钢来做,圆钢长度为4m。现在要制造1000辆汽车,最少要用多少圆钢来生产这些轴?【解】这是一个条材下料问题,设切口宽度为零。设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为y1,y2,y3,则切割方式可用不等式1.5y1+y2+0.7y3≤4表示,求这个不等式关于y1,y2,y3的非负整数解。象这样的非负整数解共有10组,也就是有10种下料方式,如表1.3所示。表1.3下料方案方案规格12345678910需求量y1(根)22111000001000y210210432101000y301023012451000余料(m)00.30.50.1o.400.30.60.20.51.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP制作与教学线性规划LinearProgrammingPage122019年8月30日星期五设xj(j=1,2…,10)为第j种下料方案所用圆钢的根数。则用料最少数学模型为:求下料方案时应注意,余料不能超过最短毛坯的长度;最好将毛坯长度按降的次序排列,即先切割长度最长的毛坯,再切割次长的,最后切割最短的,不能遗漏了方案。如果方案较多,用计算机编程排方案,去掉余料较长的方案,进行初选。102,1,010005423210002342100022min10987542987643154321101,jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZjjj1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP方案规格12345678910需求量y1(根)22111000001000y210210432101000y301023012451000余料(m)00.30.50.1o.400.30.60.20.5制作与教学线性规划LinearProgrammingPage132019年8月30日星期五1X15002X203X304X405X506X662.57X708X809X925010X100Z=812.5制作与教学线性规划LinearProgrammingPage142019年8月30日星期五【例1.4】配料问题。某钢铁公司生产一种合金,要求的成分规格是:锡不少于28%,锌不多于15%,铅恰好10%,镍要界于35%~55%之间,不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼,每种矿物的成分含量和价格如表1.4所示。矿石杂质在治炼过程中废弃,现要求每吨合金成本最低的矿物数量。假设矿石在冶炼过程中,合金含量没有发生变化。表1.4矿石的金属含量合金矿石锡%锌%铅%镍%杂质费用(元/t)1251010253034024000303026030155206018042020040202305851517551901.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP制作与教学线性规划LinearProgrammingPage152019年8月30日星期五解:设xj(j=1,2,…,5)是第j种矿石数量,得到下列线性规划模型注意,矿石在实际冶炼时金属含量会发生变化,建模时应将这种变化考虑进去,有可能是非线性关系。配料问题也称配方问题、营养问题或混合问题,在许多行业生产中都能遇到。1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP矿石锡%锌%铅%镍%杂质费用(元/t)1251010253034024000303026030155206018042020040202305851517551901234512451345135123451234512min3402601802301900.250.40.20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.10.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70.7Zxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx3450.40.80.4510,1,2,,5jxxxxj制作与教学线性规划LinearProgrammingPage162019年8月30日星期五1X102X20.33333X304X40.58335X50.6667最优解:Z=347.51.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP制作与教学线性规划LinearProgrammingPage172019年8月30日星期五【例1.5】投资问题。某投资公司在第一年有200万元资金,每年都有如下的投资方案可供考虑采纳:“假使第一年投入一笔资金,第二年又继续投入此资金的50%,那么到第三年就可回收第一年投入资金的一倍金额”。投资公司决定最优的投资策略使第六年所掌握的资金最多。第五年:(x7/2+x9)=x8+2x5第一年:x1+x2=200(万元)第二年:(x1/2+x3)+x4=x2第三年(x3/2+x5)+x6=x4+2x1第四年:(x5/2+x7)+x8=x6+2x3到第六年实有资金总额为x9+2x7,整理后得到下列线性规划模型1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP【解】设x1:第一年的投资;x2:第一年的保留资金x3:第二年新的投资;x4:第二年的保留资金x5:第三年新的投资;x6:第三年的保留资金x7:第四年新的投资x8:第四年的保留资金x9:第五年的保留资金制作与教学线性规划LinearProgrammingPage182019年8月30日星期五7912123413456356785789max22002220422204222042200,1,2,,9jZxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxj1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP1X155.28462X2144.71553X3117.07324X405X552.03256X607X7208.13018X809X90最优解:Z=416.26万元x1:第一年的投资;x2:第一年的保留资金x3:第二年新的投资;x4:第二年的保留资金x5:第三年新的投资;x6:第三年的保留资金x7:第四年新的投资x8:第四年的保留资金x9:第五年的保留资金制作与教学线性规划LinearProgrammingPage192019年8
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