模糊决策与分析方法

模糊决策与分析方法主讲人天津大学管理学院杜纲目录一、模糊数学的基本知识1、模糊集及其隶属函数2、模糊集的分解定理与扩张原理3、模糊数4、可能性分布与模糊概率二、模糊线性规划1、约束不等式有宽容度的模糊线性规划2、系数是模糊数的模糊线性规划3、区间规划三、模糊线性回归1、普通线性回归2、模糊线性回归3、应用举例四、模糊层次分析法(FAHP)1、普通层次分析法(AHP)2、基于模糊（互补）一致矩阵的FAHP3、基于三角模糊数（互补）一致矩阵的FAHP4、基于区间数判断矩阵的FAHP五、模糊统计决策1、普通统计决策（贝叶斯决策）2、模糊统计决策（模糊贝叶斯决策）六、模糊矩阵对策1、普通矩阵对策2、模糊矩阵对策七、模糊数据包络分析1、普通数据包络分析2、模糊数据包络分析八、应用第一节模糊数学的基本知识1965应用扎德的三个里程碑：模糊集1975扩张原理1978可能性理论优化评价模糊决策与分析预测控制：11()012()AAAAAxAxxAAxxAXXR（研究对象的全体、全集）普通集：边界清晰模糊集：边界模糊的隶属函数一、模、论域、特征隶属于的特征函数的程度函数。糊集及其隶属函数与隶当函数属时，XAAAXA111max()1()()()()()()()34()(5)AxAXnAAnnABABABABxxAxXXxxxxAxxABXxxxABXxxxA，当为有限论域时，，，：仍为、正则模糊集：、模糊集的表示：、模糊集的运算：中一个模糊集：：仍为中一个模糊集：|()[01]1AAAxXx模糊集的水平截集，二、模糊集的分解定理、与水扩原理集张，平截。1Ax20.52110251()25200251()50.5[0200]|()0.5()0.525[1()]0.5305AAAxxxxAAxxxxXA扎德给出了例1：一个“年轻人”的隶属函数：求的的水平截集。＝，，而由，即，解得：，解：0.5[030]，。30岁以下者隶属于“年轻”的程度不低于含义：0.5。A2500.51200()Ax210050()50[1()]5020050.5BxxxxB扎德给出了一个“年老人”的隶属练函数：求的的习：水平截集。[01][01]()012()0()AAAAXAAAAAAxAxxAxAxxAx，设为论域中的一个模糊集，是的截集，，。则下面的分解式成立：其中称为数与的乘积，仍为一个集合。其隶属函数为：而故、分定理：解定理可表示为()AxA1AA1A[01][01]()()()()[01]()(())[(())][(())](())()AAAAAAAAxxAAxxxxxxxxAA，，，要证两个集合相等，应证其隶属函数相等。分解证明：定理的意：模糊集可表示为义普通集的并集。A():()()3|()()()?fAfXYAXfAYfAyYxAfxyfAy的概念：普通集，，有，使那么的特、扩（1）回顾映射原征张数理函A()fAXYA()fA()1212()()()()()()()()0()1()1()()AfAAAfAfAAfxyfxyffxfxyxxyyx合理的：当为单射，可；当为非单射，如图，，但，，显然应有：。因析定：义此应有分()fAy()fx1x2xAxy()()1:()()sup()supfAAfxynfXYAXAfYfAyxXxx设映射，模糊集，则经映射后为中模糊集，。解（2释：对于有限论域，）扩张原理，观，直即为：。()fAy()fxAxx126123()45610.20.10.91356()sup100.2sup00.10.9()10.10.92XYabcdaxfxbxcxAfAfAabcabc例：解设，，……，，，，，，，，，，，，求，：，，1212121121122()12()112:()(()())()0()fAAAAfxxyAfXXYAXAXyxxxfxx，，，，这里取最小是因为在直观上，若＝（3）多元扩张原理则，注：无意义。1A2A1X2XY11()()()AAAARaxbxabA三、为中的模糊集，若对任，有，则称为一个凸模糊集。如下图，左为凸模糊集，右模不、凸模为凸糊集糊数模糊集。baaxxb[01][01]()()[]()()()AAAAAAAAxzAxzxzyxzyxzyAAAA是凸模糊集的任意截集是一个区间，，。对任，，若，，即，。不妨设，则对任，，，，这说明，若两点在中，则以两点为端点的整个区间也包含于，只能是一个区间。（注：这里关键要证性质：(是一个1)证：区间而非()()()()()AAAAAxyzxzxzAAyAyxzAABAB(多个）。对任，取，则，，而是区间，，即，即为凸模糊集。，是凸模糊集也是凸模糊集。（2)自证）。1[01]2RIII中的正则模糊集，若其任意截集是一个闭区间、模(1)模糊，则称是一个模糊数。，表示：（模糊数与凸模糊集数何糊数几的区别）11是开区间1AA正则，即的最大值为模糊数左（右）连续的最大值可以小于1凸模糊集可以开，故可以左（右）侧不连续故模糊数必然为凸模糊集，但凸模糊集不一定为比较：模糊数。[],(),(),[][][][][][][][][][][min()max2(abaaaaAmAwAmwabcdabcdacbdabcdadbcabcdacadbcbdacadb任意闭区间，是模糊数，称区间数。区间数也可记[],其中和分别为下限和上限；还可记=其中和分别为中点和半宽。区间数的运算：设，，，为二区间数。则，，，，，，，（）区间数，，，，，，，)]11[][][][]0[]cbdabcdabcddc，，，，，，，运算律：交换律、结合律和次分配律成立。例4:证明30)4(16)7()(xxxxxf在区间[8，10]上没有根。解：把x=[8，10]代入函数f，可得：f([8,10])=[8,10]([8,10]-[7,7])-[6,6]-……=[1.5,23.9],0[1.5,23.9].[01][01][02][01][01][11][01][01][min(0001)max(0001)][01]1111[12][12][12][1][min(112)max(112)][2]22232，，，；，，，；，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，例：[01]()(())()(()())10.1123120.1112IJIJIJIJxyzIJIJxxzxyXNIJ，两个模糊数和的运算仍是一个模糊数（，，，），其隶属函数定义为由多元扩展原理即可得。设，，，性质：（3）模糊数的运5，证，例算：：0.83IJ，求10.11110.80.10.10.110.10.81112132122230.110.10.80.10.123450.110.80.12345123IJ模糊加模糊等于解：义：模糊意。()()()(0)1[0)()()max01(0)1()exp()(0)3ppLxLxLxLLLLxLxxppLxRxp若函数满足：；；在，非增，则称为模糊数的参照函数（基准函例数）。，，，当（1）模糊数的参如：时，图形如下：、型模糊数函照数()0()(0))2)((ILRLRLRImxLxmaaxxmRxmbbILRImabmIababImamaLR设和为模糊数的参照函数，若模糊数的隶属函数为，，，，则称为型模糊数，记为，，。称为的最可能值（或均值），，分别称为左、右基准值或扩展值。若对称，即，（）－型模则可记为，（数或，）糊。mmamb11221212221212()()()()()0001()1LRLRIImabJnabIJmnaabbJnabIJmnaabbLRLRIJxxxx运算：设，，，，，，则，+，，，，+，两个型模糊数相乘，所得不再是型模糊数。已知模糊数与的隶属函数为：注：例6：022231()132124340204JxxxxxxxxxxxxIJ求。(131111)(422)022242()14646206IJIJxxxxxxxx，，解：，，10324561()[]()[]0()()()ILRIxlxlmmlxuxxmumuxluIluIlmu若型模糊数的隶属函数，，，，则称为三角模糊数，和分别称为下、上界。记为，，。例6中的两个模糊数均（3）三角模糊数为三角模糊数。对称的三角模糊数[]()[]0()()1,[]()0,IIIxlxlmmlxuxxmumuxlumlumIxmxmlmlxl在三角模糊数的隶属函数，，，，中，-,即左右扩展半径相同，则称为对称的三角模糊数，也可记为，其他1111212121212121111111111()()()111()ln(lnlnln)()lmuIIJllmmuuIJllmmuuIlmuIumlIlmueeee由扩张原理可得三角模糊数的运算如下：（其中有些是近似式）加法：，，乘法：，，数乘：，，倒数：，，对数：，，指数：，，12811110.80.60.40.212345678()XAAxxAXAxxx1978年，扎德提出了“可能性理论”，被称为模糊数学发展的第三个里程碑。摘录当时扎德文章中的例子：汉斯的早餐设论域，，，，早餐吃鸡蛋的适当个数，表示汉斯早餐吃的鸡蛋个数，则是取值于的变量四、可能性分布与模，记其的程度为，1、随机性与可能性与相容（是糊例7的分布为，另一）概率方面，：()Px的取值也具有随机性，记其分布为：x12345678π(x)11110.80.60.40.2P(x)0.10.80.100000()()()12110.80.60.40.21234526AxXAXxAxxAxxXNAAxXx例8设是在论域中取值的变量，是中的模糊集，关于的相容程度称为在模糊约束下的可能性分布，在数值上。，，，小的正整数，设，为在、中取值的变量，则是小的正整数的可能可能性分布：性分布为：x123456π(x)110.80.60.40.212()()()()0.710.90.50.11234()()0.70.9(10.7)0.70.5(10.7)0.73nAAiiXiXAXAXPAxdpxPxAAPAPA有限普通随机事件是样本空间中的清晰集。模糊事件是中的模糊集，定义其概率：某人射击命中率，现独立向目标射击，记为“只射了不几次就射中目标”，设，、模糊事件的概率例9：解：求。30.1(10.7)0.70.92XAA