数学建模---第十三章课后题--系统可靠性

关于系统可靠性的动态优化模型摘要本文讨论了关于系统可靠性的动态优化问题.针对问题一，运用动态规划的方法分步骤进行求解：第一步，将系统中多部件串联的过程分为多个阶段；第二步,定义某部件配置的备件数量为决策变量，某部件串接到末尾部件过程中配置备件的总费用为状态变量；第三步，确定与费用相关的状态转移率；第四步，根据总费用一定，得出替所有部件配置备件的总费用限制为允许状态集合以及任意阶段到最后阶段配置备件的费用不超过总费用的允许决策集合；第五步，列出从任意阶段到末阶段系统配置备件后可正常工作的最大概率为最优方程；故可建立在总费用一定的情况下，求解每个部件应配置备件的数量和正常运作的最大概率的动态优化模型.针对问题二，可看作问题一的特例来求解，求解方法与其一致，利用穷举法将所有可能结果列出进而求得最优解.此外，还可类比最短路径问题的求解方法，将题目中的最大概率看作是最短路径，可先利用题目一的模型来决定三种可行方案(见图1，2，3)，得出最优方案，即部件1配置3个备件、部件2配置1个备件、部件3配置2个备件时，该系统正常运作的概率最大为0.504.本文在最后对模型进行了评价和推广.关键字动态优化模型；最大概率一、问题重述已知某系统由若干部件串联而成，若其中一个部件出现故障，则整个系统就会瘫痪.为解决此问题，工作人员给每个部件都装有备件，一旦原部件出现故障，备件就自动进入系统，从而提高了系统的可靠性.显然，所配备件越多系统的可靠性就越大，但费用也就越高.请问：(1)在总费用一定的条件下，由n个部件串接的系统中，当部件k配置j个备件时，该部件正常工作的概率及费用均已知，试建立一个使系统可靠性最大的数学模型；(2)设某系统由3个部件串接而成且每个部件至多配置3个备件，其总费用不超过10，部件k配置j个备件时正常工作的概率kjp及费用kjc见表1，则如何配置各部件的备件数使系统的可靠性最大.表1各部件配置不同数量备件时正常工作的概率及费用表kjp备件数量jkjc备件数量j123123部件号k10.50.70.9部件号k124520.70.80.9235630.60.80.93123二、问题分析一个系统能否正常工作关系到集体或个人的各方面利益，从受益人能获得的最大效益来看，要保证系统正常运作其部件和所配置的备件尤为重要，但所耗费用也不能太多.针对问题一：总费用一定，每个部件配置不同数量备件时的费用及正常工作的概率已知，这是一个动态优化题目，可用动态规划方法求解.首先，将系统中各部件配置备件的过程划分为n个阶段；其次，定义状态变量和决策变量；然后，建立状态转移方程；再次，确定允许状态集合和允许决策集合；最后，列出最优方程并确定终端条件.依照以上步骤，便可解决此问题.针对问题二：同问题一的分析方法一致，先将系统中3个部件配置备件的过程划分为3个阶段，然后定义状态变量和决策变量，建立状态转移方程等，最后根据表1所给数据采用穷举法逐步求解，但用这种方法计算过程较冗长不简练.为了直观地理解上述做法，可将该题目转化为类似最短路径问题，先利用题目一的模型改变允许状态集合，得出符合条件的3种可行方案，每种方案可划分为4个路段，每阶段的部件所配置不同数量备件的费用可看作各个路段的不同站点，从一个路段的每一站点可以到达下一路段的哪个站点，由该阶段的配置备件的费用以及下一阶段到最后一阶段配置备件的总费用共同决定.故求各阶段配置备件后能正常工作的最大概率就化为寻求从路段1的站点到路段4的站点间的一条最优路径求出最大概率值.三、基本假设1.所配备件进入系统后可按其正常工作时所设概率正常运作.四、符号说明符号表示意义k第k个部件(k=1,2,……，n)kx第k个部件配置的备件数量kw第k个部件到第n个部件配置备件的费用)(kkwp第k个部件配置kx个备件时正常工作的概率)(kkwP在状态kw下k部件到n部件组成子系统正常工作的最大概率ixic,第i个部件配置ix个备件时的费用(nkki,,1,)Q允许的最大总费用五、模型建立求解该题目属于动态优化问题，可以用动态规划的方法建立动态优化模型进行求解，进而得出在总费用一定的情况下，系统在配置好若干备件后的正常工作的最大概率.5.1n部件串接的动态优化模型一n个部件串接组成的系统，可以将其看作是各个部件按次序排列过程的n个阶段，其中某部件所配置的备件数量kx可作为决策变量，第k个部件到第n个部件配置备件时的总费用kw为状态变量.状态转移率为第1k部件到第n部件配置备件所用总费用等于第k部件到第n部件配置备件的总费用与第k部件配置备件的费用之差：),,2,1(,1nkcwwkxkkk(1)允许决策集合是指第k个部件到第n个部件所配备件的费用之和不超过总费用Q，即:),,2,1(,nkQcnkixii(2)允许状态集合为第1个部件到第n个部件配置备件时所用总费用之和不超过总费用Q,即：Qw1(3)终端条件:1)(11nnwP(4)最优方程(性能指标):),,2,1)}(()(max{)(11nkwpwPwPkkkkkk(5)由以上分析及(1)至(5)故建立动态优化模型一如下)}()(max{)(11kkkkkkwpwPwP,kxkkkcww,1,Qcnkixii,,Qw1,1)(11nnwP,1,,1,nnk5.23个部件串接的动态优化模型二由分析可知，问题二可看作问题一的特例，利用模型一结果穷举法得出结果，但此做法不能够被直观地表达，故可利用模型一先改变题目二的允许状态集合，进而得出3种可行方案，每种方案将3阶段分为4个路段，每阶段的部件所配置不同数量备件的费用可看作各个路段的不同站点，假如将部件序号次序作为划分阶段的次序，则部件1视为第一路段，再将第一路段的各站点分开讨论，求解时应按照从后向前的次序.5.2.1当部件1配置1个备件时，化为最短路径问题如图11234图1部件1配置1个备件的最短路径问题注：)0(ijp表示路段i中的费用为j的站点到第四路段费用为0处的最小距离即为最大概率,例)0(25p表示第2路段中费用为5的站点到路段4中费用为0的最大概率.从路段3到路段4：9.0)0(,8.0)0(,6.0)0(333231ppp从路段2到路段4：9.07.019.07.018.07.016.07.0max)0(23p9.08.019.08.018.08.016.08.0max)0(25p012235369.08.018.09.016.09.0max)0(26p从路段1到路段4：8.09.05.08.09.05.09.08.05.09.07.05.0max)0(12p故当部件1配置1个备件时，36.0)0(12p为其正常工作时的最大概率.5.2.2当部件1配置2个备件时，化为最短路径问题如图21234图2部件1配置2个备件的最短路径问题从路段3到路段4:9.0)0(,8.0)0(,6.0)0(333231ppp从路段2到路段4：9.07.019.07.018.07.016.07.0max)0(23p6.08.016.08.0max)0(25p从路段1到路段4：441.09.07.07.016.08.07.019.07.07.0max)0(14p故当部件1配置2个备件时，441.0)0(14p,为其正常工作时的最大概率.5.2.3当部件1配置3个备件时，化为最短路径问题如图31234345102353210图3部件1配置3个备件的最短路径问题从路段3到路段4:8.0)0(,6.0)0(3231pp从路段2到路段4：8.07.018.07.016.07.0max)0(23p从路段1到路段4:504.09.08.07.019.07.08.0max)0(15p故当部件1配置3个备件时，504.0)0(15p,为其正常工作时的最大概率.综上所述，当部件1配置3个备件、部件2配置1个备件、部件3配置2个备件时，系统正常运作的概率最大为0.504，此时系统的可靠性最大.六、模型评价与推广模型评价本文在求解问题二时，采用了类比最短路径问题的求解方法，将做法表达的比较直观，利于读者理解.模型推广题目所给n值较大时，可以利用数学软件求解.