(完整版)线性代数(同济六版)知识点总结

1.二阶行列式--------对角线法则:|𝒂𝟏𝟏𝒂𝟏𝟐𝒂𝟐𝟏𝒂𝟐𝟐|=𝒂𝟏𝟏𝒂𝟐𝟐−𝒂𝟏𝟐𝒂𝟐𝟏2.三阶行列式①对角线法则②按行（列）展开法则3.全排列：n个不同的元素排成一列。所有排列的种数用𝑷𝒏表示，𝑷𝒏=n！逆序数：对于排列𝒑𝟏𝒑𝟐…𝒑𝒏，如果排在元素𝒑𝒊前面，且比𝒑𝒊大的元素个数有𝒕𝒊个，则𝒑𝒊这个元素的逆序数为𝒕𝒊。整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即𝒏!𝟐对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.4.其中：𝒋𝟏𝒋𝟐𝒋𝟑是1,2,3的一个排列，t(𝒋𝟏𝒋𝟐𝒋𝟑)是排列𝒋𝟏𝒋𝟐𝒋𝟑的逆序数5.下三角行列式:副三角跟副对角相识对角行列式：副对角行列式：6.行列式的性质：①行列式与它的转置行列式相等.（转置：行变列，列变行）。D=𝑫𝑻②互换行列式的两行（列），行列式变号。推论：两行（列）相同的行列式值为零。互换两行：𝒓𝒊↔𝒓𝒋③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘此行列式。第i行乘k：𝒓𝒊xk推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面④行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如：⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。如第j列的k倍加到第i列上：𝒄𝒊+𝒌𝒄𝒋333231232221131211aaaaaaaaa3221312312332211aaaaaaaaa13312213332112322311aaaaaaaaa32132123312322211312113j2j1j)jjt(j33aaaaaaaaaaaa1)(nn2211nnn2n1222111...aaaa...aa0aaan...λλλλλλ21n21n21λλλn2121)n(nλλλ1)(nnnjnjn2n12n2j2j22211n1j1j1211a)c(baaa)c(baaa)c(baannnjn2n12n2j22211n1j1211nnnjn2n12n2j22211n1j1211acaaacaaacaaabaaabaaabaannnjnjnin12n2j2j2i211n1j1j1i11aakaaaaakaaaaakaaannnjnin12n2j2i211n1j1i11aaaaaaaaaaaa7.重要性质：利用行列式的性质𝒓𝒊+𝒌𝒓𝒋或𝒄𝒊+𝒌𝒄𝒋，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n阶行列式的值。（P11页例7）8.行列式按行（列）展开法则（***重要***）①重要概念：余子式：在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去,剩下的(n−1)2个元素按原来的排法构成的n−1阶行列式叫做aij的余子式，记为Mij代数余子式：记Aij=(−1)i+jMij为元素aij的代数余子式。②重要性质，定理1）第i行各元素的余子式，代数余子式与第i行元素的取值无关。2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即：推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即或使用该法则计算行列式的值：先选取存在最多0的行（列），从该行选取一个非0元素aij，并将该行其他元素通过性质化为0，则D=aijAij9.利用Cramer法则求解n个n元线性方程组：①若非齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组有唯一解。等于0，则无解其中𝑫𝒋(j=1,2…n)是把系数行列式中的第j列的元素用方程组右边的常数项代替后所得到的的n阶行列式即：②对于齐次线性方程组，如果系数行列式D≠0，则该方程组只有零解，若D=0，则存在非零解。第二章1.矩阵相关的概念：矩阵：由m×n个数𝒂𝒊𝒋(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的数表(是一组数)。行（列）矩阵：只有一行（列）的矩阵，又称为行（列）向量。同型矩阵：行数，列数均相等的两个矩阵A=B：矩阵A和矩阵B为同型矩阵，且对应的元素相等。零矩阵：所有元素为0的矩阵，记为O，不同型的零矩阵是不相等的。对角矩阵：对角线元素为12,,,n，其余元素为0的方阵单位矩阵：对角线元素为１，其余元素为0的方阵，1212diag,,,nn111E2.矩阵的运算1）加法：只有两个矩阵为同型矩阵时，才能进行加法运算。A+B等于对应元素相加起来。满足交换律和结合律inini2i2i1i1AaAaAaDnjnj2j2j1j1jAaAaAaDji0AaAaAajninj2i2j1i1ji0AaAaAanjni2j2i1j1i或0aaaaaaaaaDnnn2n12n22211n1211DDx,,DDx,DDxnn2211n.,1,2,jaabaaaabaaaabaaDnn1jn,n1jn,n12n1j2,21j2,211n1j1,11j1,11j2）数与矩阵相乘①，②()AAA，③()ABAB3）矩阵与矩阵相乘：要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；𝑨𝒎×𝒔×𝑩𝒔×𝒏乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列数；𝑪𝒎×𝒏即：乘积矩阵的第i行，第j列元素为前一个矩阵的第i行元素与后一个矩阵的第j行元素对应相乘再相加。注意：一般情况下：AB≠BA。但是满足结合律和分配律。EA=AE=A4）矩阵的幂：若A是n阶方阵，则：𝑨𝟐=𝑨𝑨𝑨𝟑=𝑨𝑨𝟐……𝑨𝒌=𝑨𝑨𝒌−𝟏显然：3.矩阵的转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作AT.如：性质：设A为n阶方阵，如果满足𝐀=𝑨𝑻，即𝒂𝒊𝒋=𝒂𝒋𝒊，则A为对称阵如果满足𝐀=−𝑨𝑻，即𝒂𝒊𝒋=−𝒂𝒋𝒊，则A为反对称阵4.方阵的行列式：由n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作|A|或detA.性质：①T||||AA，②||||nAA，③||||||ABAB。5.伴随矩阵：其中𝐀𝒊𝒋是𝒂𝒊𝒋的代数余子式，*A称为A的伴随矩阵。（特别注意符号）6.逆矩阵：对于n阶方阵A，如果有n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A可逆，B为A的逆矩阵，记为𝑨−𝟏。且A的逆矩阵是唯一的。判断方阵A是否可逆：|𝑨|≠0⇔A可逆，且逆矩阵𝑨−𝟏=𝟏|𝑨|𝑨∗推论：若|𝑨|≠0，则|𝑨−𝟏|=𝟏|𝑨∗|。此时称A为非奇异矩阵。若|𝑨|=𝟎，则称A为奇异矩阵。二阶矩阵的逆矩阵：主对角线两数对调，副对角线两数反号。单位矩阵E是可逆的𝐄=𝑬−𝟏。零矩阵是不可逆的。()()AA11221sijijisijsjkkkijcabababab22222()()2()()kkkABABABAABBABABABA、B可交换时才成立,()klklklklAAAAA122,458A1425;28TA(1)();TTAA(2)();TTTABAB(3)();TTAA(4)().TTTABBA112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA注意：元素𝒂𝒊𝒋的代数余子式𝐀𝒊𝒋是位于𝑨∗的第j行第i列（类似于转置）性质：𝑨𝑨∗=𝑨∗𝑨=|𝑨|𝑬111212122211nnmmmnaaaaaaAAaaaA=𝒂𝒃𝒄𝒅-----𝑨−𝟏=𝟏𝐚𝐝−𝐛𝐜𝒅−𝒃−𝒄𝒂对角矩阵的逆矩阵：对角线上每个元素取倒数。推论：如果n阶方阵A、B可逆，那么𝑨−𝟏、𝑨𝑻、λA(λ≠0)、AB也可逆且：用逆矩阵求解线性方程组：已知𝐀𝐗𝐁=𝐂，若AB可逆，则𝐗=𝑨−𝟏𝑪𝑩−𝟏（A在X左边，则𝑨−𝟏必须在C左边，B也如此）7.矩阵分块法：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块；每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.分块矩阵的运算：（其运算与矩阵运算基本一致）1）加法：要求矩阵A和B是同型矩阵，且采用相同的分块法(即相对应的两个子块也是同型的)2）分块矩阵A的转置𝑨𝑻：除了A整体上需转置外，每一个子块也必须得转置。8.分块对角矩阵：设A是n阶矩阵，若：①A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，②其余子块都为零矩阵③对角线上的子块都是方阵则称A为分块对角矩阵。性质：①|A|=|A1||A2|…|As|②若|As|≠0，则|A|≠0，并且分块副对角矩阵：𝑶𝑨𝑩𝑶−𝟏=(𝑶𝑩−𝟏𝑨−𝟏𝑶)A=O的充分必要条件：𝑨𝑻𝑨=𝑶第三章1.初等行变换：（运算符号：~）----注意与行列式的运算加以区分①互换两行，记做𝒓𝒊↔𝒓𝒋②第i行乘以非0常数k，记做𝒓𝒊×𝒌③第j行的k倍加到第i行上，记做𝒓𝒊+𝒌𝒓𝒋2.若矩阵A经过有限次初等变换成矩阵B，则称A与B等价，记做𝑨~𝑩𝑨𝒎×𝒏~𝑩𝒎×𝒏的充要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B3.矩阵之间等价关系的性质：①反身性：𝑨~𝑨②对称性：若𝑨~𝑩，则𝑩~𝑨③传递性：若𝑨~𝑩，𝑩~𝑪，则𝑨~𝑪4.行阶梯形矩阵：1）可画出一条阶梯线，线的下方全为零；2）每个台阶只有一行；3）阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵：4）非零行的首非零元为1;5）首非零元所在的列的其它元素都为零.5.初等矩阵：由单位矩阵𝑬经过一次初等变换得到的矩阵。（是可逆的）1）单位矩阵对换i，j行，记作𝑬𝒎(𝒊,𝒋)𝑬𝒎(𝒊,𝒋)−𝟏=𝑬𝒎(𝒊,𝒋)2）以常数k≠0乘单位矩阵第i行（列），记作𝑬𝒎(𝒊(𝒌))𝑬𝒎(𝒊(𝒌))−𝟏=𝑬𝒎(𝒊(𝟏𝒌))3）以k乘单位矩阵第j行加到第i行，记作𝑬𝒎(𝒊,𝒋(𝒌))𝑬𝒎(𝒊,𝒋(𝒌))−𝟏=𝑬𝒎(𝒊,𝒋(−𝒌))性质1：左行右列设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.11(),AA11()(),TTAA111(),AA111().ABBA（5）|𝑨−𝟏|=|𝑨|−𝟏12sAAAA111121sAAAA性质2：方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,…,Pl，使A=P1P2…,Pl．推论：方阵A可逆的充要条件是如果A~𝑩，则存在可逆矩阵P，使PA=B。⇔(𝐀,𝐄)~(𝐁,𝐏)：即当A变换成B是时，E变为P（求P）求方阵A的逆矩阵方法总结：方法1：①判断A可不可逆：若|𝑨|≠𝟎⇔A可逆---书中P41页②𝑨−𝟏=𝟏|𝑨|𝑨∗：注意伴随矩阵里每个代数余子式对应的符号方法2：本身蕴含了判断A可不可逆的条件，即𝑨~𝑬⇔A可逆---书中P64页例2(𝐀,𝐄)