2020高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第4讲三角函数的图象与性质ppt课件

三角函数、解三角形第三章第四讲三角函数的图象与性质1知识梳理2考点突破3名师讲坛知识梳理1．周期函数的定义及周期的概念(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做____________.非零常数T叫做这个函数的________.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小__________.(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，_____________________都是它们的周期，最小正周期是________.周期函数周期正周期2kπ(k∈Z，k≠0)2π2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域{x|x∈R}{x|x∈R}{x|x∈R，且x≠π2＋kπ，k∈Z}值域_______________________________________________{y|－1≤y≤1}{y|－1≤y≤1}R函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx单调性在____________________，k∈Z上递增；在_____________________，k∈Z上递减在___________________，k∈Z上递增；在____________________，k∈Z上递减在(－π2＋kπ，π2＋kπ)，k∈Z上递增最值x＝________________时，ymax＝1；x＝____________________时，ymin＝－1x＝_______________时，ymax＝1；x＝__________________时，ymin＝－1无最值[(2k－1)π，2kπ]π2＋2kπ(k∈Z)[－π2＋2kπ，π2＋2kπ][π2＋2kπ，3π2＋2kπ][2kπ，(2k＋1)π]－π2＋2kπ(k∈Z)2kπ(k∈Z)π＋2kπ(k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx奇偶性__________________对称性对称中心___________________________________________对称轴__________________________________无对称轴最小正周期___________________奇偶奇(kπ，0)，k∈Z(kπ＋π2，0)，k∈Z(kπ2，0)，k∈Zx＝kπ＋π2，k∈Zx＝kπ，k∈Z2π2ππ1．函数y＝sinx，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是_________、_____________、__________、_______________、___________.函数y＝cosx，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是_________、_____________、____________、_____________、___________.(0,0)(π2，1)(π，0)(3π2，－1)(2π，0)(0,1)(π2，0)(π，－1)(3π2，0)(2π，1)2．函数y＝sinx与y＝cosx的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，如y＝cosx的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，而不是x＝2kπ(k∈Z)．3．对于y＝tanx不能认为在其定义域上为增函数，而是在每个区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)内为增函数．1．函数y＝tan2x的定义域是()A．{x|x≠kπ＋π4，k∈Z}B．{x|x≠kπ2＋π8，k∈Z}C．{x|x≠kπ＋π8，k∈Z}D．{x|x≠kπ2＋π4，k∈Z}D[解析]由2x≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠kπ2＋π4，k∈Z，所以y＝tan2x的定义域为{x|x≠kπ2＋π4，k∈Z}．2．(教材改编)下列关于函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是()A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B．在[－π2，π2]上是增函数，在[－π，－π2]及[π2，π]上是减函数C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D．在[π2，π]及[－π，－π2]上是增函数，在[－π2，π2]上是减函数B[解析]函数y＝4sinx在[－π，－π2]和[π2，π]上单调递减，在[－π2，π2]上单调递增．故选B．3．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(2x＋π3)的最小正周期为()A．4πB．2πC．πD．π2C[解析]由题意T＝2π2＝π.4．函数y＝3－2cos(x＋π4)的最大值为_____，此时x＝___________________.53π4＋2kπ(k∈Z)[解析]函数y＝3－2cos(x＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x＋π4＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝3π4＋2kπ(k∈Z)．5．(1)函数y＝sin(x＋π4)的单调递减区间是___________________________(2)函数y＝tan(12x－π4)的单调递增区间是______________________________[2kπ＋π4，2kπ＋5π4](k∈Z)(2kπ－π2，2kπ＋3π2)(k∈Z)[解析](1)由2kπ＋π2≤x＋π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z)．∴y＝sin(x＋π4)的单调减区间为[2kπ＋π4，2kπ＋5π4](k∈Z)．(2)由kπ－π212x－π4kπ＋π2，得kπ－π412xkπ＋34π.∴2kπ－π2x2kπ＋32π(k∈Z)．∴y＝tan(12x－π4)的单调增区间为(2kπ－π2，2kπ＋3π2)(k∈Z)．考点突破考点1三角函数的定义域、值域——自主练透例1(1)(文)函数y＝2sinx－1的定义域为()A．[π6，5π6]B．[2kπ＋π6，2kπ＋5π6](k∈Z)C．(2kπ＋π6，2kπ＋5π6)(k∈Z)D．[kπ＋π6，kπ＋5π6](k∈Z)(理)函数y＝lgsinx＋cosx－12的定义域为_____________________________.B{x|2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z}(2)(文)函数y＝－2sinx－1，x∈[7π6，13π6)的值域是____________.(理)函数f(x)＝3sin(2x－π6)在区间[0，π2]上的值域为()A．[－32，32]B．[－32，3]C．[－332，332]D．[－332，3](3)(2018·山东邹平双语学校月考)函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34(x∈[0，π2])的最大值是_____.(－2,1]B1[解析](1)(文)由2sinx－1≥0，得sinx≥12，作出单位圆与直线y＝12的交点，可知2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6(k∈Z)．故选B．(理)要使函数有意义，则有sinx0，cosx－12≥0，即sinx0，cosx≥12，解得2kπxπ＋2kπ，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)，所以2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z.所以函数的定义域为{x|2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z}(2)(文)∵x∈[7π6，13π6)，∴sinx∈[－1，12)，∴y＝－2sinx－1值域为(－2,1]．(理)当x∈[0，π2]时，2x－π6∈[－π6，5π6]，sin(2x－π6)∈[－12，1]，故3sin(2x－π6)∈[－32，3]，即此时函数f(x)的值域是[－32，3]．(3)f(x)＝1－cos2x＋3cosx－34＝－cos2x＋3cosx＋14＝－(cosx－32)2＋1，因为x∈[0，π2]，所以cosx∈[0,1]，所以当cosx＝32时，函数取得最大值1.三角函数定义域、值域的求解策略(1)求与三角函数有关的定义域问题实际上是解简单的三角不等式，可借助三角函数线或三角函数图象或借助单位圆求解．(2)三角函数的值域或最值的求法：①对于形如y＝asinx＋bcosx的函数求最值，通过化一公式化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)的形式，借助三角函数的图象求最值(值域)；②对于形如y＝Asin2x＋Bsinx＋C函数求最值，一般通过换元法求解；(使用换元法时要注意新元的取值范围)．考点2三角函数的单调性——师生共研例2(1)函数f(x)＝tan(2x－π3)的单调递增区间是()A．[kπ2－π12，kπ2＋5π12](k∈Z)B．(kπ2－π12，kπ2＋5π12)(k∈Z)C．(kπ＋π6，kπ＋2π3)(k∈Z)D．[kπ－π12，kπ＋5π12](k∈Z)(2)函数y＝sin(－2x＋π3)的单调递减区间为____________________________.B[kπ－π12，kπ＋5π12](k∈Z)(3)(2018·课标全国Ⅱ，10)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]上是减函数，则实数a的最大值是()A．π4B．π2C．3π4D．πC[解析](1)由kπ－π22x－π3kπ＋π2(k∈Z)，得kπ2－π12xkπ2＋5π12(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan(2x－π3)的单调递增区间为(kπ2－π12，kπ2＋5π12)(k∈Z)，故选B．(2)y＝－sin(2x－π3)，它的减区间是y＝sin(2x－π3)的增区间．令2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.故其单调递减区间为[kπ－π12，kπ＋5π12]，k∈Z.(3)本题主要考查三角函数的图象及性质．f(x)＝cosx－sinx＝2cos(x＋π4)．因为f(x)在[0，a]上是减函数，所以a0，a＋π4≤π，解得0a≤3π4.故a的最大值是3π4，故选C．三角函数单调性问题的解题策略(1)求三角函数单调区间的两种方法：①代换法：求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简．化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式．求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．②图解法：若函数的图象能够容易画出，可利用图象直观迅速求解．如某些含绝对值的三角函数．注：正、余弦型单调区间长度为半周期．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．〔变式训练1〕(1)函数y＝cos(π4－2x)的单调减区间为______________________________.(2)如果函数y＝12sinωx在区间[－π8，π12]上单调递减，那么ω的取值范围是()A．[－6,0)B．[－4,0)C．(0,4]D．(0,6][kπ＋π8，kπ＋5π8](k∈Z)B[解析](1)由y＝cos(π4－2x)＝cos(2x－π4)得2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8(k∈Z)．所以函数的单调减区间为[kπ＋π8，kπ＋5π8](k∈Z)．(2)解法一：因为函数y＝12sinωx在区间[－π8，π12]上单调递减，所以ω0且函数y＝12sin(－ωx)在区间[－π12，π8]上单调递增，则ω0，－ω·－π12≥2kπ－π2，k∈Z，－ω·π8≤2kπ＋π2，即ω0，ω≥24k－6，k∈Z，ω≥－16k－4，求得－4≤ω0.故选B．解法二：代值检验法，当ω＝1时，y＝12sinx在[－π2，π2]上单调递增，排除选项C，D；当ω＝－6时，y＝12sin(－6x)＝－12sin6x在[－π8，－π12]上单调递增，在[－π12，π12]上单调递减，排除选项A．故选B．考点3三角函数的周期性、奇偶性、对称性——多维探究例3角度1周期性(2018·课标全国Ⅲ，6)函数f(x)＝tanx1＋tan2x的最小正周期为()A．π4B．π2C．πD．2π(