2012高考数学一轮复习--三角形中的三角函数 ppt

2020年6月28日星期W三角形中的有关公式1.内角和定理:三角形三内角之和为,即A+B+C=.注(1)任意两角和与第三个角总互补;(2)任意两半角和与第三个角的半角总互余;(3)锐角三角形三内角都是锐角任两角和都是钝角设△ABC中,角A、B、C的对边为a、b、c,任意两边的平方和大于第三边的平方.三内角的余弦值为正值((44))等等边边对对等等角角::BAba;大大边边对对大大角角::BAba.2.正弦定理:===2R(R为三角形外接圆的半径)sinCcsinAasinBb注正弦定理的一些变形:(1)a:b:c=sinA:sinB:sinC;(3)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.友情提醒：已知三角形两边一对角运用正弦定理求解时,务必注意可能有两解！(2)sinA=,sinB=,sinC=;c2Ra2Rb2R三角形中的有关公式3.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,cosA=等,常选用余弦定理鉴定三角形的形状.b2+c2-a22bc4.面积公式:S=aha=absinC=r(a+b+c)(其中r为三角形内切圆半径).121212特别提醒:(1)求解三角形中的问题时,一定要注意A+B+C=这一特性:A+B=-C,sin(A+B)=sinC,sin=cos;(2)求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实施边角互化.A+B2C2三角形中的有关公式解解斜斜三三角角形形的的四四种种类类型型举举例例⑴⑴已已知知三三边边可可利利用用余余弦弦定定理理练练习习11..在ABC中,3,5,7abc,则则此此三三角角形形最最大大角角大大小小为为__________________⑵⑵已已知知两两角角及及一一边边可可利利用用正正弦弦定定理理练练习习22..在ABC中,105A,45B,22b,则c_________分分析析：：用用余余弦弦定定理理222925491cos22352abcCab,∴0.12C120.分分析析∵C=18018010545AB=30∴由由正正弦弦定定理理得得22sin30sin45c,∴2c.2解解斜斜三三角角形形的的四四种种类类型型举举例例⑶⑶已已知知两两边边及及其其夹夹角角可可利利用用余余弦弦定定理理;;练练习习33..在△ABC中,2,45,1ABCSBa，则△ABC外接圆的直径为_________分分析析：：由1sin211sin4522SacBc△ABC,∴42c由由余余弦弦定定理理得得222222cos1(42)2142cos45bacacB=25∴5b,∴2sin455R,∴252R.52.解解斜斜三三角角形形的的四四种种类类型型举举例例⑷⑷已已知知两两边边及及一一边边的的对对角角,,可可利利用用正正弦弦定定理理或或利利用用余余弦弦定定理理;;((注注意意解解的的情情况况,,可可能能出出现现一一解解、、两两解解、、或或无无解解..))练练习习44..在在△△AABBCC中中,,若若∠∠AA＝＝112200°°，，AABB==55，，BBCC＝＝77，，则则AACC＝＝．．练练习习55..在在△△AABBCC中中，，已已知知AABB==3，，AACC==11，，∠∠BB==3300°°，，则则△△AABBCC的的面面积积为为__________________..分分析析：：设ACx0,则2227525cos120xx即25240xx,解得83x或∴3x33324或分分析析：：由正弦定理得sinsinACABBC,∴13sinsin30C,∴3sin2C,∴60120C或,∴9030A或∴1111sin311312222SACABA△ABC或∴3324S△ABC或典型例题解析：三角形的证明Dbb提示:(1)法1:边换角;法2:角换边;(2)法1:边换角;法2:角换边;法3:构造图形;(3)作差换c2即可.差为:2(a2+b2)-4absin(C+30)≥2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0.(当正三角形时取等号).例1在△ABC中,求证:(1)=;a-ccosBb-ccosAsinBsinA(2)a2-2abcos(60+C)=c2-2bccos(60+A);(3)a2+b2+c2≥43S(S为△ABC的面积).CBAabc例例22..在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南)102cos(其中方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？典型例题解析：解三角形应用例例22解解析析::设t小时后该城市开始受到台风的侵袭,t小时台风中心到达A点,则AP=20tkm,点A处的台风半径为(6010)tkm∵coscos(45)APO=coscos45sinsin45=22722102102=45由余弦定理得2222cosOAAPOPAPOPAPO,∴22244003002203005OAtt≤2(1060)t,2362880,1224ttt即≤解得≤≤答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.典型例题解析：解三角形与向量的综合应用.||,,,,),2cos2,(cos2)0,1(2?1143),1,1(32的取值范围依次成等差数列，求且的内角为其中，的夹角为与）若（）求（，且的夹角为与、已知向量例pnCBAABCCACApqnnnmmnm已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,求cosAcosC的取值范围.解析:∵△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,∴2B=A+C且A+B+C=180º.∴B=60º,C=120º-A.∴cosAcosC=cosAcos(120º-A)=cosAcos120ºcosA+cosAsin120ºsinA=-cos2A+sinAcosA3212=-(1+cos2A)+sin2A3414=sin(2A-30º)-1214∵0ºA120º,∴-30º2A-30º210º∴-sin(2A-30º)≤112∴-cosAcosC≤12141412即cosAcosC的取值范围是(-,].综合练习题