2.3.1_等差数列前n项的和

1.等差数列的定义：1(2)nnnaaadn是等差数列2.通项公式：1(1).naand3.重要性质:().⑴nmaanmd.⑵mnpqmnpqaaaa复习一个堆放铅笔的V形架，最下面第一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面多放一支，就这样一层一层地往上放。最上面一层放100支。求这个V形架上共放着多少支铅笔？即求S=1+2+3+······+100=？情景1高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？高斯（1777---1855），德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。高斯“神速求和”的故事:首项与末项的和：1＋100＝101，第2项与倒数第2项的和：2＋99=101，第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101，······第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是：1001015050.2求S=1+2+3+······+100=？你知道高斯是怎么计算的吗？高斯算法：高斯算法用到了等差数列的什么性质？.mnpqmnpqaaaa如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、5、6、7、8、9、10，求钢管总数。即求：S=4+5+6+7+8+9+10.高斯算法：S=（4+10)+（5+9）+（6+8）+7=14×3+7=49.还有其它算法吗？情景2S=10+9+8+7+6+5+4.S=4+5+6+7+8+9+10.相加得：(410)749.2S倒序相加法2(410)(59)(68)(77)(86)(95)(104)S(410)7.两种求和法：高斯算法倒序相加法怎样求一般等差数列的前n项和呢？12,.nnnnanSSaaa设等差数列的前项和为即12.nnSaaa11.nnnSaaa12112()()()nnnnSaaaaaa1().nnaa1211nnnaaaaaa1().2nnnaaS探究思路2121111[(1)].(()2)nnaandaadSaaad11()([(1)2].)nnnnnnnadSaaanddaaa1112()()()nnnnnSaaaaaa个相加得：1().nnaa1().2nnnaaS121111[(1)].(()2)nnaandaadSaaad111111[([(1)2)][.](3)]nnnaandaSananadda12[2(1)].nSandn相加得11).2nnnSnad（思路3等差数列的前n项和公式1(1)naand1nnaadnS等差数列中五个基本量：、、、、之间有几个等量关系？2)1nnaanS（dnnnaSn2)11（公式1公式21nnaadnS、、、、五个量中“知三求二”.（方程的思想）1anan公式记忆1)2nnnaaS（11)2nnnSnad（——类比梯形面积公式记忆例1、计算：(1)123(2)135(21)(3)2462(4)123456(21)2.nnnnn；；；(4)[135(21)](2462).nn解：原式(12)(34)(56)[(21)2].nn又解：原式(1)2nn2n(1)nn11)21)2nnnnaaSnnSnad（（举例例2、10,6,2,2,54等差数列前多少项的和是？1212,,10,6(10)4,54.(-1)-10454262709,3-10-6-22954nnnanSadSnnnnnnn设该等差数列为其前项和是则根据等差数列前项和公式，得整理得解得（舍去）因此，等差数列，，，，前项的和是注：本题体现了方程的思想.解：11)21)2nnnnaaSnnSnad（（123891012,75,.naaaaaaaS10数列为等差数列，若求例3、12389101275aaaaaa，由解：111418253.adaadd，，10110910145.2Sad又解：1101011010()5()2aaSaa12389101275aaaaaa，由110293887.aaaaaa1101103()87()29.aaaa即529145.1102938aaaaaa，整体运算的思想!11)21)2nnnnaaSnnSnad（（例4、2512151636,.naaaaaS在等差数列中，已知求解：1161611616()8()2aaSaa2512152155121163618aaaaaaaaaa818144.11)21)2nnnnaaSnnSnad（（1、一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。415211124462427(510)(2)27332(1)21.2nSadSSadadaannd，，，解：练习61120,.naaS2、已知等差数列中，求解:61116202aaaa11111611()11220.2aaSa11)21)2nnnnaaSnnSnad（（1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;1n1()(()2(1))S2nnnaaSnnnad2、求和公式小结3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想.①已知首项、末项用公式Ⅰ；已知首项、公差用公式Ⅱ.②应用求和公式时一定弄清项数n.③当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求a1+an的值.4、数学方法：观察、尝试、归纳、类比等.数学思想：类比思想、整体思想、方程思想等.课本52页A组1、2、3、4、5、6作业