概率论与数理统计公式大全

第1章随机事件及其概率1排列组合)!(!nmmPnm)!(!!nmnmCnm2关系运算A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)BABA，BABA3几何概型（1）S是直线上的某个线段,长度为l(S),A是S的一个子集，则落在A中的概率为：P(A)=l(A)/l(S)。（2）S是平面上的某个区域,面积为u(S),则落在A中的概率为：P(A)=u(A)/u(S)。（3）S是空间上的某个立体,体积为v(S),则落在A中的概率为：P(A)=v(A)/v(S)。甲乙两人相约在7点到8点之间在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就离开。如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达，试计算二人能够会面的概率。解：4加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)5减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P(B)=1-P(B)6条件概率事件B在事件A发生条件下发生的条件概率为)/(ABP)()(APABP。7乘法公式)/()()(ABPAPABPP(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)[P(AB)0]8独立性①两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP，则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立.Ø与任何事件都互斥。②多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。9伯努利概型概率P(A)=p,发P(A)=1-p=q，用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率，knkknnqpkPC)(，nk,,2,1,0。例1.16设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A为“至少有一张红桃”，B为“恰有2张红桃”，C为“恰有5张方块”，求条件概率P(B|A)，P(B|C)解135213391352135213391)(1)(CCCCCAPAP13521139213)(CCCABP13391352113921313521339135213521139213)()()(CCCCCCCCCCAPABPABP1352839513)(CCCCP1352626213513)(CCCCBCP83962621313528395131352626213513)()()(CCCCCCCCCCCPBCPCBP95604060222SuAuAP600,600|,yxyxS20,,|,yxSyxyxA根据题意，这是一个几何概型问题，于是某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率.解设A表示事件“活到20岁以上”，B表示事件“活到25岁以上”，显然AB7.0)(AP56.0)(BP56.0)()(BPABP8.07.056.0)()()(APABPABP例1.21某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数01234概率0.10.20.40.20.1现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。40()()()kkkPBPAPBA解设B表示事件“一批产品通过检验”，Ai(i=0,1,2,3,4)表示“一批产品含有i件次品”，则A0,A1,A2,A3,A4组成样本空间的一个划分，00()0.1,()1PAPBA10991110100()0.2,()0.900CPAPBAC10982210100()0.4,()0.809CPAPBAC10973310100()0.2,()0.727CPAPBAC10964410100()0.1,()0.652CPAPBAC814.0652.01.0727.02.0809.04.0900.0.021.0顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是00040()(|)0.11(|)0.1230.814()(|)iiiPAPBAPABPAPBA类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为1、2、3、4件的概率分别约为0.221、0.398、0.179、0.080。贝叶斯公式(Bayes)1()()()1,2,,()()kkkniiiPAPBAPABknPAPBA第二章随机变量及其分布1离散型随机变量P(X=xk)=pk，k=1,2,…，（1）0kp，（2）11kkp2连续型随机变量概率密度xdxxfxF)()((1)0)(xf;(2)1)(dxxf。3分布函数)()(xXPxF)()()(aFbFbXaP1,1)(0xFx；2、单调不减性：若x1x2,则F(x1)F(x2)；30)(lim)(xFFx，1)(lim)(xFFx；4右连续性：)()0(xFxF对于离散型随机变量，xxkkpxF)(；对于连续型随机变量，二项分布),(~pnBXknkknnqpCkPkXP)()(，当1n时，就是（0-1）分布：P(X=1)=p,P(X=0)=q泊松分布)(~X或者P()：ekkXPk!)(，0，2,1,0k，泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。超几何分布),min(,2,1,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布,3,2,1,)(1kpqkXPk，其中p≥0，q=1-p。(k次试验，前k-1次失败，第k次成功)随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。00lim()()xxFxFxxdttfxXPxF)()()(＝＝()=()FxfxbadxxfaFbFbXaP)()()()(均匀分布X~U(a，b)：,0,1)(abxf其他，xdxxfxF)()(当a≤x1x2≤b时，X落在区间（21,xx）内的概率为abxxxXxP1221)(。指数分布积分公式：!0ndxexxn正态分布X～N(,2);(越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峭)X～N(0,1):～N(0,1)函数分布离散型连续型6826.01)1(21)(XPXP9974.01)3(23)3(XPXP9544.01)2(22)2(XPXP1122()xxXPxPXx21xxyxgdxxf)()(0，xa，,abaxa≤x≤b1，xb。a≤x≤b)(xf,xe0x,00,0x,)(xF,1xe0x,,0x0。)(xfxO22()21(),(,)2xfxexxtdtexF222)(21)(.,21)(22xexxxdtexXPxxt,21}{)(22)()(xx1)()(xxxy()()(51)XxFxPXxPX落在以为中心，3为半径的区间(-3,+3)内的概率相当大(0.9973),落在(-3,+3)以外的概率可以忽略不计dyydFyfYY)()(第三章二维随机变量及其分布联合分布离散型),2,1,()},(),{(jipyxYXPijjiYXy1y2Y3P(X=xi)x1p11p12p13x2p21p22p23X3P31P32P33P(Y=yj)1连续型二维随机变量的本质)(),(yYxXyYxX联合分布函数},{),(yYxXPyxF称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。（1）;1),(0yxF（2）F（x,y）分别对x和y是减的（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即);0,(),(),,0(),(yxFyxFyxFyxF（4）.1),(,0),(),(),(FxFyFF（5）对于，，2121yyxx0)()()()(11211222yxFyxFyxFyxF，，，，.离散型与连续型的关系dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(，，，边缘分布离散型),2,1,()(jipxXPPijjii；),2,1,()(jipyYPPijijj。连续型；dyyxfxfX),()(.),()(dxyxfyfY条件分布离散型；iijijppxXyYP)|(,)|(jijjippyYxXP连续型)(),()|(yfyxfyxfY；)(),()|(xfyxfxyfX独立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型jiijppp有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y)充要条件：①可分离变量②正概率密度区间为矩形二维正态分布,121),(2222121211221))((2)1(212yyxxeyxf＝0随机变量的函数若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。()(,)()(,)XFxFPXxPXxYx()(,()(,))YFyFPYyyyPXY（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；（2）.1ijijpxydudvvufyxF),(),(二维均匀分布其他,0),(1),(DyxSyxfD其中SD为区域D的面积，称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。若(X，Y)服从矩形区域a≤x≤b,c≤y≤d上的均匀分布，则(X，Y)的两个边缘分布仍为均匀分布，且分别为二维正态分布二维正态分布，（X，Y）～N（).,,,2221,21,121),(2222121211221))((2)1(212yyxxeyxf可以推出X～N（).(~),,22,2211NY但若X～N（)(~),,22,2211NY，(X，Y)未必是二维正态分布。函数分布Z=X+Y)()()(zYXPzZPzFZ,对于连续型，fZ(z)＝dxxzxf),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布（222121,）。卷积公式:1()0Xaxbfxba其它1()0Ycxdfxdc