几何直观教学视角

建立几何直观的教学视角黄玉香[e-mail]2014.11“小学数学新课标理念与实践研究”系列活动专题一：数据分析观念培养（龟湖）专题二：数学文化渗透（实小）专题三：基本活动经验解读与实践研究（三小）专题四：几何直观能力培养（二小）专题五：推理能力培养专题六：数学基本思想渗透专题七：良好学习习惯培养专题八：“综合与实践”难点透视专题九：课程资源有效利用专题十：学习评价研究活动背景——核心概念几何直观在教学上更为深远的意义何在？应该建立怎样的几何直观教学视角？一、几何直观的含义二、几何直观的作用三、几何直观的表现形式四、几何直观的两种层次五、相关术语的辨析六、深度解读几何直观七、几何直观在教学中的运用建立几何直观的教学视角一、几何直观的含义几何直观主要指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。（2011版课标）一、几何直观的含义直观：直接的观察，通过对事物的直接接触而获得的感性认识；几何：在几何直观的语境下指图形；几何直观：就是借助图形而获得的对数学研究对象的感性认识。二、几何直观的作用认知心理学认为，学习是人脑内部复杂的信息加工与组织过程。在这个信息加工与组织过程中，思维的展开更倾向于依据直观形象的成分，而不是依据文字或符号叙述的定义定理。视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角。物体越小或距离越远，视角越小。思维的展开更倾向于依据直观形象的成分思维的展开更倾向于依据直观形象的成分“约分”●●●□□高三角形的高看小说有些时候，教学如果不深入到直观层面，学习只能停留在死记硬背层面。1.451.541.4951.504三、几何直观的表现形式1.实物直观（即实物图）2.替代物直观（已经具备一定的抽象性）3.图形直观实物直观实物直观替代物直观——●小圆片、小三角形●点子图●小棒（单根、一捆、一箱）●小方块（单个、条、面、体）●计数器替代物直观替代物直观图形直观——●线段图（直条图、示意图）●面积模型图（乘法分配律、面积公式）●统计图（三种）●图形的变换（平移、旋转、轴对称）●函数图（正反比例、看图找关系）四、几何直观的两种层次1.直观感知2.直观洞察（首次接触）直观洞察例2：观察发现：平移、旋转能够由轴对称来实现。进而猜想：是不是所有的平移、旋转都能由轴对称来替代？直观洞察一般地，两次对折，当对称轴互相平行时，相当于一次平移；当对称轴相交时，相当于一次旋转。直观洞察（抽象性）直观感知（直观性）五、相关术语的辨析1.几何直观与数形结合2.几何直观与空间观念1.几何直观与数形结合数形结合——主要指借助“形”的直观来理解抽象的“数”。（分数、行程问题）“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”(华罗庚）“形少数时难入微”用数表示变化规律：1、3、5、7、9。用算式表示变化规律：1、1+3、1+3+5、1+3+5+7、1+3+5+7+9。“形少数时难入微”规律表示：25=1+2+3+4+5+4+3+2+1“形少数时难入微”中心起点：1＝1红线上点数：1+3＝4红蓝线上点数：1+3+5＝9红蓝黄线上点数：1+3+5+（）＝（）红蓝黄绿上线点数：＝（）1.几何直观与数形结合联系与区别——联系1：作用相同，旨在直观地理解数学；联系2：应用语境大致相同，很多语境下这两个词可以替换使用。区别1：数形结合是一种数学思想，几何直观更指向于课程意识。区别2：外延不同。找不到不是几何直观的数形结合，却可以找到不是数形结合的几何直观。无须用到“量”的分析2.几何直观与空间观念空间观念——表现为对形体特征、位置关系、图形变换的想象与描述。主要指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。2.几何直观与空间观念联系与区别——联系1：二者有重叠的部分，如“根据几何图形想象出所描述的实际物体”等。联系2：几何直观是建立空间观念的有效手段。区别1：空间观念即使脱离了具体情境也能想象出图形的形状与位置关系，而几何直观更强调借助图形而进行。区别2：空间观念更多局限在“图形与几何”内容领域，而发展学生的几何直观能力需要依托数学课程的每个领域。六、深度解读几何直观1.在各领域学习中，都要重视几何直观能力的培养。从更长远看，几何直观的作用不局限于数学。2.对“图形”的理解可以宽泛些，既可以是有形可视的，也可以是无形想象的。六、深度解读几何直观3.要看到图形的直观性，也要看到图形的抽象性。4.几何直观是一种意识，也是一种能力，更是一种思维方式。5.直观本身不是目的，而是手段。七、几何直观在教学中的运用1.规划几何直观能力培养的脉络主线2.创新几何直观运用的教学设计低年级：实物图——示意图——线段图中年级：开始有意识引导学生掌握画示意图和线段图的要点和技巧。1.规划几何直观能力培养的脉络主线2.创新几何直观运用的教学设计（1）巧用几何直观理解概念——追问本质（2）巧用几何直观洞悉规则——追问源头（3）巧用几何直观明晰算理——追问思想（4）巧用几何直观探寻思路——还原本真（1）巧用几何直观理解概念——追问本质动态呈现动态呈现（1）巧用几何直观理解概念——追问本质动态呈现（1）巧用几何直观理解概念——追问本质反面干扰（1）巧用几何直观理解概念——追问本质反面干扰（1）巧用几何直观理解概念反面干扰（1）巧用几何直观理解概念——追问本质外延拓展小红打一份材料用0.5小时小丽打相同的材料用1/3小时（1）巧用几何直观理解概念——追问本质（2）巧用几何直观洞悉规则——追问源头（2）巧用几何直观洞悉规则——追问源头能被2、3、5整除的数，为什么2、5的倍数看个位？为什么3的倍数要看各数位上的数字之和？36236（2）巧用几何直观洞悉规则——追问源头54（2）巧用几何直观洞悉规则——追问源头123比例的基本性质？乘法分配律？（2）巧用几何直观洞悉规则——追问源头分数除法，为什么除以一个数，等于乘这个数的倒数？（2）巧用几何直观明晰算理——追问思想例1：小明2/3小时走2千米，每小时走几千米？板：2÷2/3＝？师：怎么算呢？画个图试试吧。板：2/3小时师：从图中可直观地看出什么？预设生：1/3小时走1千米。板：2÷2/3＝2÷2×3＝3师小结：一个数除以分数其实就是先除以它的分子，算出一份是多少，然后再乘它的分母求出“单位1”是多少。1小时2千米师追问：假如不能整除的怎么办，如3÷7/8＝？怎么利用上节课的方法进行算式“变形运算”呢？说明：学生在上节课“分数除以整数”的学习中已经掌握如“4/5÷3＝4/5×1/3”、“A÷B＝A×1/B（B≠0）”的计算方法。结合学生的回答板书：2÷2/3＝2÷2×3＝2×1/2×3＝2×3/23÷7/8＝3÷7×8＝3×1/7×8＝3×8/7几何直观数的变形运算例2：课件动态演示“做花”的情境：3/4张纸做了6朵花。师：你看懂了什么？生1：3/4张纸做了6朵花。生2：一张纸平均分成4份，其中的3份做6朵花，一张纸可以做几朵花？出示题：3/4张纸做了6朵花，一张纸可以做多少朵花？（生列式）师：6÷3/4，怎么算？生：前面的分数除以整数，是乘一个数的倒数。我想这个也是，我用“以此类推”的方法转化为乘法，6×4/3。（很多学生点头赞同）师：你们认为这个方法是正确的？师：哦，那你们能不能想一些方法，证明这个结果是正确的？静静地想一会儿，把所有能想到的方法都记录下来。教师特意准备了划成6格的练习纸，方便学生记录不同的思路。学生自主尝试，教师巡视搜集各种思路，整体投影呈现学生的方法：师：这些方法，哪些你也想到了，哪些你现在能看懂？哪些算法之间有相似之处？说给同桌听。师：哪些算法大家看不懂，需要提出来讨论的？（大部分学生表示第⑥种和第①种比较难理解。）师：有没有同学可以看懂呢？生：……师：明白了，根据学过的知识转化为我们学过的算式来解决。那剩下的都能看懂吗？哪些方法是相似的？生1：第①和第⑤种是相似的，一个分步，一个综合。生2：我觉得①③⑤是一样的，因为第③种是直接把3/4化成小数，思考方法一样，都是化成已经学过的来解决。生3：第②种是我的，我还没写完整，我想在旁边写一句话，如果把一张纸平均分成4份，3/4张纸做6朵，那么每1/4张纸可以做2朵，所以整张纸可以做8朵。师：太棒了！看来这些方法的确有相似的地方，第①种方法中的6÷3就是第④种方法中的6×1/3。现在，我们可以证明，刚才尝试计算时得出的结果“8”确实是正确的。那么，你能在这些方法中找到“6×4/3”吗？生1：第④种方法中的“×1/3×4”其实就是“×4/3”。生2：第②种方法中，6平均分成3份，就是6×1/3×4，也能找到“6×4/3”。生3：那么，第①种也可以转化为6×1/3×4，也能找到“6×4/3”。生4：第⑤种也是。生5：第⑥种，除数化成1后，被除数的部分就是6×4/3。师：看来，我们不仅验证了“8”这个结果是正确的，还证明了以此类推的计算方法“6×4/3”也是正确的。比较两种教法——1.几何直观的作用理解算理——创设情境，引出算式2.“数的变形运算”成分（化归思想）仅在小结时出现——作为全课重点还原本真（4）巧用几何直观探寻思路（4）巧用几何直观探寻思路——还原本真例1：小明前三次数学考试的平均成绩是９３分，第四次的成绩比四次平均成绩高３分，小明第四次数学考试的成绩是多少分？３÷３＝１（分）９３＋１＋３＝９７（分）例2：一个正方形的小果园，周长是20米。如果每4平方米种一棵桃树，这个果园一共可以种多少棵桃树？（4）巧用几何直观探寻思路——还原本真20÷4＝5（米），5×5＝25（米2），25÷4＝6（棵）……1（米2）例3：在一个长6分米、宽4分米、高5分米的长方体中，最多能放入（）个棱长为2分米的小正方体。A.12B.13C.14D.15多数学生：6×5×4÷（2×2×2）＝15（个）（4）巧用几何直观探寻思路——还原本真还原本真，巧用示意图（不局限于教材的直观图）（4）巧用几何直观探寻思路——还原本真加强几何直观，是世界数学课程改革的方向。研究几何直观教学的最终目的在于提升学生的数学素养。几何直观作为小学数学教学的一种新视角，更为深远的意义在于形成几何直观的思维方式。