1.3.2函数的奇偶性

1.3.2函数的奇偶性复习引入１、已知：f(x)＝3x，画出函数图象，并求：f(2)、f(－2)、f(－x)。解：f(2)＝3×2=6f(－2)=3×(－2)=－6f(－x)=3×(－x)＝－3x思考：通过练习你发现了什么？2、已知：g(x)=2x，画出函数图象，并求g(1)，g(－1),g(－x)。2解：g(-1)=2×(－1)=2g(-x)=2×(－x)=2x2g(1)=2×1=2222f(－x)=－f(x),g(－x)=g(x)xy0xy0观察下图，思考并讨论以下问题：（1）这两个函数图象有什么共同特征？（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征？－3－2－101239410149－3－2－101233210123x2)(xxfx||)(xxf观察到这两个函数的图象都关于y轴对称．那么，如何利用函数解析式描述函数图象的这个特征？偶函数的概念一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数．)(xf)()(xfxfx)(xf函数，都是偶函数，它们的图象分别如下图所示：1)(2xxf112)(2xxf观察观察函数和的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？xxf)(xxf1)(x－3－2－10123f(x)=xx－3－2－10123f(x)=1/x/奇函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数．)()(xfxf思考（1）判断函数的奇偶性．（2）如果下图是函数图象的一部分，你能根据的奇偶性画出它在轴左边的图象吗？xxxf3)(xxxf3)()(xfy例判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）．4)(xxf5)(xxfxxxf1)(21)(xxf（2）对于函数，其定义域为（－∞，＋∞）．5)(xxf因为对于定义域内的每一个x，都有)()()(55xfxxxf所以，函数为奇函数．5)(xxf解：（1）对于函数，其定义域为（－∞，＋∞）．4)(xxf因为对定义域内的每一个x，都有)()()(44xfxxxf所以，函数为偶函数．4)(xxf因为对于定义域内的每一个x，都有)()1(1)(xfxxxxxf所以，函数为奇函数．xxxf1)(（3）对于函数，其定义域为．0|xxxxxf1)(因为对于定义域内的每一个，都有)(1)(1)(22xfxxxf所以，函数为偶函数．21)(xxf（4）对于函数，其定义域为．0|xx21)(xxf用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.1、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=2x4+3x2(2)f(x)=x3-2x2、已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数，试将下图补充完整。课堂练习：oxyoxy1)((4)1)()3(22xxfxxxf]3,1[,)()6(1)()5(0)()4(5)()3(1)()2(1)()1(22xxxfxxfxfxfxxfxxxf3.判断下列函数的奇偶性：思考题：函数y＝5是奇函数还是偶函数？函数y＝0是奇函数还是偶函数？０５Y＝５Y＝０YYxx０偶函数是偶函数也是奇函数知识探究（一）思考1:是否存在函数f(x)既是奇函数又是偶函数？若存在，这样的函数有何特征？f(x)=0思考2:一个函数就奇偶性而言有哪几种可能情形？思考3:若f(x)是定义在R上的奇函数，那么f(0)的值如何？f(0)=0思考4:如果函数f(x)具有奇偶性,a为非零常数，那么函数af(x)，f(ax)的奇偶性如何？思考5:常数函数具有奇偶性吗？()(0)fxaa知识探究（二）思考1:如果函数f(x)和g(x)都是奇函数，那么f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)×g(x)，f(x)÷g(x)的奇偶性如何？思考2:如果f(x)是定义在R上的任意一个函数，那么f(x)+f(-x)，f(x)-f(-x)奇偶性如何？f(x)+f(-x)是偶函数f(x)-f(-x)是奇函数思考3:二次函数是偶函数的条件是什么？一次函数是奇函数的条件是什么？2()fxaxbxc()fxkxbb=0理论迁移1已知f(x)是奇函数，且当时，,求当时f(x)的解析式.0x2()3fxxx0x2()3(0)fxxxx2设函数，已知是偶函数，求实数m的值.2()23fxxmx(1)fxm=-43已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x都有，若当时，,求的值.(3)()0fxfx[3,2]x()2fxx1()2f1()52f4已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，f(-2)=0，求不等式的解集.(,0]()0xfx(2,0)(2,)-a与点（x，y）关于y轴对称的点是。1、与点（x，y）关于原点对称的点是。思考2、奇函数的图象关于原点对称设f(x)为奇函数，则有f(－x)=－f(x)；在f(x)图象上任取一点(a，f(a))那么,点(－a,－f(a))也在函数f(x)的图象上所以：f(x)的图象关于原点对称３、偶函数的图象关于y轴对称设f(x)为偶函数，则有f(－x)＝f(x)在f(x)的图象上任取一点(a，f(a))那么,点(－a,f(a))也在函数f(x)的图象上所以：f(x)的图象关于y轴对称（－x，－y）（－x，y）。。y0xaf(a)-f(a)y0x。。-aaf(a)f(a)奇偶函数图象的性质1、奇函数的图象关于原点对称.反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.2、偶函数的图象关于y轴对称.反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.说明：奇偶函数图象的性质可用于：a、简化函数图象的画法.B、判断函数的奇偶性例已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.xy0解：画法略相等本课小结1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(－x)=-f(x)f(x)为奇函数如果都有f(－x)=f(x)f(x)为偶函数2、两个性质：一个函数为奇函数它的图象关于原点对称一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称理论迁移1判断下列函数的奇偶性:(1);(2).1()fxxx2()1fxx2已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数，都有成立.（1）求f(1)和f(-1)的值；（2）确定f(x)的奇偶性.()()()fabafbbfa3确定函数的单调区间.2()2||3fxxxyxo1-1