高数复习资料(幂级数展开式)

§8.4函数的幂级数展开及应用,)(0nnnxcxS设收敛区间(-r,r),r0,),(,)('rrxxncxSnnn11则S(x)在(-r,r)上可导,且由于幂级数的收敛半径也为r,于是11nnnxnc)('xS在(-r,r)上可导,且),(,)()(''rrxxcnnxSnnn221S(x)在(-r,r)上二阶可导又的收敛半径也为r,)(221nnnxcnn)(''xS在(-r,r)上可导,且),(,))(()('''rrxxcnnnxSnnn3321S(x)在(-r,r)上三阶可导重复这一过程可知:S(x)在(-r,r)上无穷阶可导,即幂级数表示的和函数在其收敛区间上xcnnn0任意阶可导问题:若一函数f(x)在(x0-,x0+)上任意阶可导,f(x)是否可以表示为),(,)()(0000xxxxxcxfnnn即一任意阶可导的函数是否可以展开为一幂级数?这就是函数的幂级数展开问题我们首先考虑,如果,)()(00nnnxxcxf那么cn=?令x=x0,)(,)(0000xfccxf两边求导得,)()('110nnnxxncxf让x=x0,有!)(',)('10110xfccxf再两边求导有,)()()(''2201nnnxxcnnxf让x=x0,有!)('',!)(''220220xfccxf重复这一过程可得,,,!)()(100nnxfcnn即如果,)()(00nnnxxcxf则)(!)()()(000nnnxxnxfxf泰勒级数:级数称为函数)(!)()(000nnnxxnxff(x)在x=x0点的泰勒级数由此得知:(1)如果f(x)可表示为一个以x0为基点的幂级数,则此幂级数就是f(x)在x0点的泰勒级数(幂级数表示的唯一性)(2)幂级数就是其和函数S(x)在)(00nnnxxcx0点的泰勒级数(3)一个在N(x0)上任意阶可导的函数f(x),总可构造它在x0点处的泰勒级数)(!)(000)(nnnxxnxf下面讨论:)(!)()()(000nnnxxnxfxf?由泰勒公式)()(!)())((')()()(xRxxnxfxxxfxfxfnnn00000若记的部分和数列为{Sn(x)},)(!)()(000nnnxxnxfnnnxxnxfxxxfxfxS)(!)())((')()()(00000则有)()()(xRxSxfnn故知:)(!)()()(000nnnxxnxfxf)()(limxfxSnn)(lim0xRnn定理在点x处)(!)()()(000nnnxxnxfxf)(lim0xRnn我们把等式nnxxnxfxxxfxfxf)(!)())((')()()(00000(1)称为函数f(x)在x0点处的泰勒级数展开式若x0=0,则上式为nnxnfxffxf!)()(')()()(000(2)(2)称为函数f(x)的麦克劳林级数展开式常用的泰勒级数展开式(取x0=0)(1)f(x)=ex的展开式由于xnxneexf)()()()(10)()(nfxexf)(在x0=0处的泰勒级数为!!21!20nxxxnxnnn其收敛半径:)(limlim11nccrnnnn级数的收敛域为(-,+)又由泰勒公式)!()(11nnxnexR其中介于0与x之间,于是有RxxnexnexRnxnn,)!()!()(11110据夹逼定理知,对任意xR)!(lim)(lim011nnnnxnexR所以有Rxnxnxxxennnx,!!!0221(3)(2)f(x)=sinx的展开式)sin()()(2nxxfn)sin()()(20nfn1212020knknnfkn,)(,)sin()()(xxfsin)(在x0=0处的泰勒级数为012!)12()1(kkkkx!)()(!!121531253kxxxxkk)!()!(lim)()(lim123212321nxnxxaxarnnnnnn由于101222)(limnnxn级数的收敛域为(-,+)012121nnknx!)()(又由于RxnxxnnxRnnnn,)!1()!1()2)1((sin)(011)1(,)(limRxxRnn0所以有),(,!)()(sinxkxxkkk012121(4)(3)f(x)=cosx的展开式对上式两边对x求导有Rxnxnnn,!)()(0221']!)()([cos012121nnnnxx(4)f(x)=ln(1+x)的展开式)1()1ln(11nxxnnn],(,)(111212xnxxxnn(6)即!)()(cos0221nnnnxxRxnxxxnn,!)()(!!21421242(5)(5)f(x)=(1+x),R的展开式nnxnxf))(()()()(111)()()()(110nfnf(x)在x0=0处的泰勒级数nnxnn1!)1()1(1nxnnxx!)()(!)(112112!)()()!()()(limlimnnnnccnnnn11111由于11nnnlim1r收敛区间为(-1,1)下面考虑),(,!)()()(1111111xxnnxnn?对于任意的x(-1,1),!)()()(nnxnnxS1111记!)()()()('11111nnxnnxS)(!)()()()(')(1111111nnxxnnxSx!)()()(!)()()(nnnnxnnxnn111111111由于11111nnxnn!)()()(12111nnxnn!)()()(1nkkkxkk11!)()(nnxnn11!)()(代入前式有)(')(xSx1nnxnn11!)()(!)()()(nnxnn1111nnxnnnn11111}!)()()(!)()({nnxnnnn)(!)()()(11111)(!)()(xSxnnnn111即满足:)()(')(xSxSx1,)()('xxSxS1即解得cxxS)ln()(ln1由于S(0)=1,c=0)ln()(lnxxS1),(,)()(111xxxS),(,!)()()(1111111xxnnxnn(7)说明:(1)的展开式Rxxf,)()(1),(,!)()()(1111111xxnnxnn的推导过程就是一个幂级数求和的过程(化为微分方程计算)(2)展开式(3)—(7)的推导过程称为幂级数展开的直接展开法:(a)计算210,,,)()(kxfk(b)验证等式成立可以看到,由于不易计算,等式的验证xfk)()(通常也较困难,所以利用直接法求函数的幂级数展开式常常是困难的(3)间接展开法:利用函数的幂级数展开式的唯一性,借助一些已知的幂级数展开式求函数的幂级数展开式的方法称为幂级数展开的间接展开法这一方法的优点:(a)回避的计算),,()()(210kxfk(b)回避等式的验证例2xexf)(求在x=0处的泰勒级数展开式解因为对于任意的x(-,+)0221nnnxnxnxxxe!!!令x=x2,代入上式有Rxnxnxxxennnx,!!!02242212所以,2xexf)(在x=0处的泰勒展开式为Rxnxennx,!022说明:利用,!)()(nfcnn0可知nncnf!)()(0所以有,,,!)()()(100012012kkfk,,,!)(!!)()()(2121202kkkkkfk解例xxfsin)(求在处的泰勒级数展开式4x因为])(sin[sin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx])sin()cos([sin4421xxx由于),(,!)()(sinxnxxnnn012121),(,)(!)()()sin(xxnxnnn12041214),(,!)()(cosxnxxnnn0221),(,)(!)()()cos(xxnxnnn204214代入上式有120412121nnnxnx)(!)()([sin])(!)()(nnnxn2042102421121nnnxn)(!)()({Rxxnnn,})(!)(1204121解例设,将f(x)展开为x的幂级数222xxxxf)()()(211132222xxxxxxxf由于,,1110xxxnn)(212121xx])(!)())(([nnxnn211211211)(12x])()([121121nnnx)()(02121nnnx)(2x将这些展开式代入上式有])()([)(nnnnnxxxxf00221213)(1x201211131nnnnx])([)(1x解例求在x=0处的泰勒级数展开式.xxfarctan)(因为,211xxf)('而当时,1x0321111nnnxxxxx)(在上式中令x=x2,有)(1x0264221111nnnxxxxx)()(12xdxxdxxxnnnx])([00202111)(1xxnnndxxx0201)(arctan)(121120nxnnn)(1x由于右边级数在处收敛及arctanx在1x1x处连续,故有11121120xnxxnnn,)(arctan解例设将f(x)展开为,)(21xxxf形式的级数,其中))((nnnxgc0)(xxxg1令,xxz1则,zzx1代入21xxxf)()(zzzzf11])(!)())(([nnznnz1121121211])(!))(())(([nnnnznnz12123111)(1z)!)!!((nnnznnz12121)(1z11212nnnznnz!)!!()(1z将代入上式得xxz121xxxf)(11121