周期性与抽象函数

函数的周期性和抽象函数1.定义：若对任意的x，都有f(x+T)=f(x)(T≠0),则说函数f(x)是周期函数，T是它的周期；2.若函数f(x)满足f(x+a)=f(x+b),(ab),则f(x)是以T=a-b为周期的周期函数；3.若f(x+a)=-f(x),则f(x)是以T＝2a为周期的周期函数；4.若f(x+a)=b/f(x),则f(x)是以T=2a为周期的周期函数6.若函数f(x)图象关于直线x=a对称即f(a+x)=f(a-x),又关于直线x=b对称即f(b+x)=f(b-x)(ab),则f(x)是以T=2a-2b为周期的周期函数.5.若f(x)满足f(x+a)=[1-f(x)]]/[1+f(x)],则f(x)是以T＝2a为周期的周期函数7.若f(x)满足f(a+x)=f(b-x)则f(x)的图象关于直线x=(a+b)/2对称；特别地，若有f(a+x)=f(a-x),则f(x)的图象关于直线x+a对称.7.若函数f(x)的图像关于点M(a,0)和点N(b,0)都成中心对称，则f(x)是以T=2(a-b)为周期的周期函数.如f(x)=sinx点O(0,0)和点(π,0)对称,它的周期为2(π-0)=2π注：f(x)的图像关于点M(a,0)对称的条件是f(x)=-f(2a-x)9.熟记函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=Asin(ωx+φ)的周期.8.若函数f(x)图象关于直线x=a对称即f(x)=f(2a-x),又关于点M(b,0)对称,即f(x)=-f(2b-x),则f(x)是以T=4(a-b)为周期的周期函数如f(x)=sinx关于x=π/2对称，又关于点O(0,0)对称，它的周期为4(π/2-0)=2π1.已知函数f(x)的周期为4，且等式f(2+x)=f(2-x)对x∈R均成立，求证：f(x)为偶函数；2.已知函数f(x)满足:f(2+x)=f(2-x)对x∈R均成立，且f(x)为偶函数,求证f(x)是周期函数.3.已知偶函数f(x)的周期为4，求证：f(x)的图象关于直线x=2对称4.设f(x)是定义在R上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间(2k－1，2k＋1]，已知当x∈I0时，f(x)＝x2.求f(x)在Ik上的解析表达式已知f(x)是定义在R上的周期为2的函数，且0x≤2时，f(x)=2x-1,求6x≤8时f(x)的解析式f(x)=(x-2k)2f(x)=2x-13函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则(A)f(x)是偶函数(B)f(x)是奇函数(C)f(x)=f(x+2)(D)f(x+3)是奇函数D1.若函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y),则此函数可以是f(x)=kx;2.若函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y)＋m,则此函数可以是f(x)=kx+b;抽象函数例1.若函数f(x)对任意实数x,y都满足f(x)+f(y)=f(x+y),且当x0时，y0,证明(1)f(x)是奇函数；(2)f(x)是增函数3.若函数f(x)的定义域为(0,+∞)且满足f(x)+f(y)=f(xy),则此函数可以是f(x)=logax;另：对数函数也可这样给出：f(x)-f(y)=f(x/y)例2.若函数f(x)的定义域为(0,+∞)且满足f(x)+f(y)=f(xy),且x1时y0,证明f(x)是增函数4.若函数f(x)满足f(x)f(y)=f(x+y),且f(x)不恒为0,则此函数可以是f(x)=ax5.若函数f(x)满足f(x)f(y)=f(xy),则此函数可以是f(x)=xn.另：指数函数也可这样给出：f(x)/f(y)=f(x-y)例3.若函数f(x)满足f(x)f(y)=f(x+y),且f(x)不恒为0,且x0时，y1.证明f(x)是减函数四、练习题二：5.已知f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),（1）求证f(x)是奇函数;(2)若f(-3)=a,求f(24);（3）若x0时，f(x)0,且f(1)=-0.5,求f(x)在区间[-2,6]上的最大值和最小值.[-3,1]6.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),又f(2)=1且x1时，f(x)0;(1)证明f(1)=0;(2)求证:f(x/y)=f(x)-f(y);（3）求f(4)的值；(4)若f(x)+f(x-3)≤2,求x的取值范围.f(4)=23x≤47.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)≠0,f(1)=2,x0时，f(x)1，且对任意实数x,都有f(x)f(y)=f(x+y),解不等式f(x2)f(4x-2)8-5x18.对于任意的非零实数x,y,已知函数y=f(x)(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y).(1)求证：f(1)=f(-1)=0;(2)求证函数y=f(x)为偶函数；(3)若函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数，解不等式f(x)+f(x-1/2)≤0(4)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数，求x的取值范围21,0,41714171xxx[-3/7,-1/3)∪(-1/3,1/5]9.函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0，（1）求f(0)的值；（2）对任意的x1∈(0,1/2)，x2∈(0,1/2)，都有f(x1)+2logax2成立时，求a的取值范围．f(0)=-2f(x)=x2+x-2)1,44[310.已知函数f(x)对任意实数x,y有f(x)+f(y)=2+f(x+y)，当x0时，f(x)2，f(3)=5，求不等式f(a2-2a-2)3的解集。11.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)=f(4-x)且f(2-x)+f(x-2)=0，求f(2000)的值。奇函数T=8f(2000)=f(0)=0-1a3f(1)=312.已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x0时，f(x)0,且f(-1)=-2,求f(x)在[-2,1]上的值域。13.设f(x)定义在R上且对任意的x有f(x)=f(x+1)-f(x+2)，求证：f(x)是周期函数，并找出它的一个周期。[-4,2]T=6例2.函数f(x)的图象关于直线x=1对称，且x1时，f(x)=x2+1,求x1的表达式。f(x)=(x-2)2+1(x1)练习：函数f(x+1)是偶函数，且x1时，f(x)=x2+1,求x1的表达式。函数f(x)的图象关于直线（2,1）对称，且x1时，f(x)=x2+1,求x1的表达式。y=-(x-4)2+1