高中数学-概率2.3条件概率与独立事件2.3.2独立事件与独立事件的概率课件北师大版

1.了解相互独立事件的概念,及相互独立事件与互斥事件之间的区别.2.掌握相互独立事件概率的乘法公式.3.能用相互独立事件概率的乘法公式解决实际问题.一般地,对两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互独立.可以证明,如果A,B相互独立,则A与𝐵,𝐴与B,𝐴与𝐵也相互独立.如果A1,A2,…,An相互独立,则有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).【做一做】(1)袋中有3个黄球,4个白球,从中依次取出2个,则取出的两个都是白球的概率为.(2)制造一种零件,甲机床的正品率是0.96,乙机床的正品率是0.95,从它们制造的产品中各任意抽取一件,则两件都是正品的概率是.解析:(1)方法一:用古典概型方法.袋中共有7个球,依次取出2个,基本事件有A72个.令A={2次都取得白球},包括A42个基本事件,因此P(A)=A42A72=27.方法二:用概率乘法公式.令A={2次都取得白球},令Ai={第i次取得白球}(i=1,2),则A=A1A2,显然事件A1,A2是相互独立的,由乘法公式,得P(A)=P(A1A2)=P(A1)·P(A2|A1)=47×36=27.(2)分别用A,B表示从甲、乙机床制造的产品中抽得正品.由题意得,A,B是相互独立事件,故P(AB)=P(A)P(B)=0.96×0.95=0.912.答案:(1)27(2)0.912题型一题型二题型一互斥事件与相互独立事件【例1】下列每对事件中,哪些是互斥事件,哪些是相互独立事件?(1)1000张有奖销售的奖券中某1张奖券中一等奖与该张奖券中二等奖;(2)甲、乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张,甲中奖与乙中奖;(3)甲组3名男生、2名女生,乙组2名男生、3名女生,今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;(4)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”.题型一题型二分析:根据互斥事件和相互独立事件的概念和性质来进行判断.互斥事件A和B不能同时发生,但可能同时不发生.相互独立事件A和B各自是否发生互不相关,其中一事件发生与否对另一事件的发生没有影响,两事件既可以同时发生,也可以同时不发生,或一个发生另一个不发生.解:(1)一张奖券不可能既中一等奖又中二等奖,即这两个事件不可能同时发生,故它们是互斥事件.(2)由双色球的中奖规则可知,甲是否中奖对乙没有影响,反之亦然,故它们是相互独立事件.(3)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,反之亦然,所以它们是相互独立事件.题型一题型二(4)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为58,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为47;若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为57.因此,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以二者不是相互独立事件,也不是互斥事件.反思弄清“互斥事件”与“相互独立事件”的区别是关键,“互斥事件”不能同时发生,“独立事件”互不影响.题型一题型二【变式训练1】判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件.(1)运动员甲射击1次,“射中9环”与“射中8环”;(2)甲、乙两运动员各射击1次,“甲射中10环”与“乙射中9环”;(3)甲、乙两运动员各射击1次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”;(4)甲、乙两运动员各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标,但乙没有射中目标”.题型一题型二解:(1)甲射击1次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件.(2)甲、乙各射击1次,“甲射中10环”发生与否,对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件.(3)甲、乙各射击1次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生,二者是互斥事件.(4)甲、乙各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标,但乙没有射中目标”可能同时发生,二者构不成互斥事件,也不可能是相互独立事件.题型一题型二题型二相互独立事件概率的应用【例2】甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题,规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率;(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.解:(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A,B,则P(A)=C62C41+C63C103=60+20120=23,P(B)=C82C21+C83C103=56+56120=1415.题型一题型二(2)由题意知事件A,B相互独立.方法一:“甲、乙两人考试均不合格”即事件𝐴𝐵发生.因为P(𝐴𝐵)=P(𝐴)P(𝐵)=1-23×1-1415=145,所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1-P(𝐴𝐵)=1-145=4445.方法二:“甲、乙两人至少有一人考试合格”即事件A𝐵,𝐴B,AB有一个发生,且A𝐵,𝐴B,AB彼此互斥.所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=P(A𝐵)+P(𝐴B)+P(AB)=P(A)P(𝐵)+P(𝐴)P(B)+P(A)P(B)=23×115+13×1415+23×1415=4445.故甲、乙两人中至少有一人考试合格的概率为4445.题型一题型二反思求P(AB)时注意事件A,B是否相互独立,求P(A+B)时应注意事件A,B是否互斥.对于“至多”“至少”型问题的解法有两种思路:①是分类讨论;②是求对立事件,利用P(𝐴)=1−𝑃(𝐴)来计算.题型一题型二【变式训练2】甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响.(1)求甲获胜的概率;(2)求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列.解设Ak,Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中,则P(Ak)=13,P(Bk)=12(k=1,2,3).(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率公式与相互独立事件同时发生的概率公式知P(C)=P(A1)+P(𝐴1𝐵1A2)+P(𝐴1𝐵1𝐴2𝐵2A3)=P(A1)+P(𝐴1)P(𝐵1)P(A2)+P(𝐴1)P(𝐵1)P(𝐴2)P(𝐵2)P(A3)=13+23×12×13+232×122×13=1327.题型一题型二(2)ξ的可能取值为1,2,3,则P(ξ=1)=P(A1)+P(𝐴1B1)=13+23×12=23,P(ξ=2)=P(𝐴1𝐵1A2)+P(𝐴1𝐵1𝐴2B2)=23×12×13+232×122=29,P(ξ=3)=P(𝐴1𝐵1𝐴2𝐵2)=19.所以ξ的分布列为ξ123P232919题型一题型二【例3】现有甲、乙两个靶,某射手先向甲靶射击一次,命中的概率为34,然后向乙靶射击两次,每次命中的概率为23,该射手每次射击的结果相互独立,假设该射手完成以上三次射击.(1)求射手第一次命中,后二次都未射中的概率;(2)求该射手恰有一次命中的概率;(3)该射手至少命中一次的概率.分析由于射手射击的结果相互独立,利用相互独立的概率公式求解.题型一题型二解设“该射手第一次射击击中”为事件A,“第二次射击击中”为事件B,“第三次射击击中”为事件C.则P(A)=34,P(B)=P(C)=23.(1)记“第一次命中,后二次未中”为事件D,由于A,B,C相互独立,则P(D)=P(A𝐵𝐶)=P(A)P(𝐵)P(𝐶)=34×1-23×1-23=112.即该射手第一次命中,后二次未中的概率为112.(2)记“该射手恰好命中一次”为事件E,则E=A𝐵𝐶∪𝐴𝐵𝐶∪𝐴𝐵C,题型一题型二由事件的独立性与互斥性得P(E)=P(A𝐵𝐶)+P(𝐴𝐵𝐶)+P(𝐴𝐵C)=P(A)P(𝐵)P(𝐶)+P(𝐴)P(B)P(𝐶)+P(𝐴)P(𝐵)P(C)=34×1-23×1-23+1-34×23×1-23+1-34×1-23×23=112+14×23×13+14×13×23=112+118+118=736.即该射手恰好命中一次的概率为736.(3)记“该射手至少命中一次”为事件F,则P(F)=1-P(𝐴𝐵𝐶)=1-1-34×1-23×1-23=1-14×13×13=3536.即该射手至少命中一次的概率为3536.题型一题型二【变式训练3】甲、乙两人破译一密码,他们能破译的概率分别为13和14.求(1)两人都能破译的概率;(2)两人都不能破译的概率;(3)恰有一人能破译的概率;(4)至多有一人能破译的概率.解记“甲能破译”为事件A,“乙能破译”为事件B,则A,B相互独立,从而A与𝐵,𝐴与B,𝐴与𝐵均相互独立.(1)“两人都能破译”为事件AB,则P(AB)=P(A)·P(B)=13×14=112.(2)“两人都不能破译”为事件𝐴𝐵,则P(𝐴𝐵)=P(𝐴)·P(𝐵)=[1-P(A)]·[1-P(B)]=1-13×1-14=12.题型一题型二(3)“恰有一人能破译”为事件(A𝐵)∪(𝐴B).又A𝐵与𝐴B互斥,则P((A𝐵)∪(𝐴B))=P(A𝐵)+P(𝐴B)=P(A)·P(𝐵)+P(𝐴)·P(B)=13×1-14+1-13×14=512.(4)“至多一人能破译”为事件(A𝐵)∪(𝐴B)∪(𝐴𝐵),且A𝐵,𝐴B,𝐴𝐵互斥,故P((A𝐵)∪(𝐴B)∪(𝐴𝐵))=P(A𝐵)+P(𝐴B)+P(𝐴𝐵)=P(A)·P(𝐵)+P(𝐴)·P(B)+P(𝐴)·P(𝐵)=13×1-14+1-13×14+1-13×1-14=1112.123451.甲、乙两名射击运动员射击同一目标,命中的概率分别为0.8和0.7,若各射击一次,目标被击中的概率是()A.0.56B.0.92C.0.94D.0.96解析:设“甲击中目标”为事件A,“乙击中目标”为事件B,目标被击中即为事件A发生或事件B发生,则P=P(𝐴𝐵)+𝑃(𝐴𝐵)+𝑃(𝐴𝐵)=0.8×0.3+0.2×0.7+0.8×0.7=0.94.答案:C6123452.掷一枚骰子一次,设事件A为“出现偶数点”,事件B为“出现3点或6点”,则事件A,B的关系是()A.互斥但不相互独立B.相互独立但不互斥C.互斥且相互独立D.既不相互独立也不互斥解析:事件A={2,4,6},事件B={3,6},事件AB={6},基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6}.所以P(A)=36=12,𝑃(𝐵)=26=13,𝑃(𝐴𝐵)=16,即P(AB)=P(A)P(B),因此,事件A与B相互独立.当“出现6点”时,事件A与事件B都发生,所以A,B不是互斥事件.答案:B6123453.一个学生通过某英语听力测试的概率为12,他连续测试2次,那么其中恰有一次通过的概率为()A.14B.13C.12D.15解析:其中恰有一次获得通过的概率P=12×1-12+1-12×12=12.答案:C6123454.一袋中有3个红球,2个白球,另一袋中有2个红球,1个白球,从每袋中任取一球,则至少取一白球的概率为.解析:至少取一白球的对立事件为从每袋中都取得红球,从第一袋中取一球为红球的概率为35,从另一袋中取一球为红球的概率为23,则至少取一白球的概率为1−35×23=35.答案:3561234565某天上午,李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是.解析至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98.答案0.98123456