向量复习(很好)

平面向量一、向量的基本概念向量、零向量、单位向量、共线向量（平行向量）、相等向量、相反向量等.1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小又叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2、向量的表示AB1、字母表示：AB或a2、坐标表示：xyaiO(x,y)jAaxyjyixa），（yx），（yxOA3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a与b相等,记为ab.注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:0与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量:长度相等且方向相反的向量.ab作法（1）在平面内任取一点Oo·AB==(2)作OAa,b=+作(3)OBabAB+已知向量a,b,求作向量ab位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。还有没有其他的做法？abo·ABC力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型。作法（1）在平面内任取一点OOB==(2)作OAa,b=+(3)OCab作同起点的对角线BOCAab以同一点O为起点的两个已知向量为邻边作OACB，则以Ｏ为起点的对角线OC就是的和．ba、ba与OabABba差向量的做法：从一个点出发的两个向量的差向量就是从减向量的终点指向被减向量终点的向量。20013MABCMAMBMCADBECFOMOAOBOC为重心O为平面内任意一点ABCDEFMababab结论：41,2812ababababbbab，为非零向量，平分与的夹角则（）A。a=bB。abC。aa，则的最大值，最小值211234233120ACAOOCAOOCOAOCOCOAOAODADABACBDCDababababababab可以表示成---若则与满足的条件若且与不共线，则与方向关系？121212111221221112212211.12eeeeRaeeeeeeeeeeee如果，是平面内两个不共线的向量，那么下列命题中错误的是（）+（，）可以表示平面内所有向量（）+的实数，有无数对（3）若向量+与+共线，则有且只有一个实数使+（+）（4）若实数，使+20则==02,3平面向量基本定理2.3.14.ADBEABCBCACADBEBCABPAPBPOOPOAOBda12121212，是边，中线，用基底，表示？设一条直线上三点，，满足，为空间一点，则用，表示为？已知a=2e-3e，b=2e+3e，其中e，e不共线c=2e-9e，问是否存在实数，使bc与共线2233dab121212解：2e-3e2e+3eee//dckdkc要使则存在实数，使得22331212即ee2ke-9ke222339kk由平面向量基本定理得2得，所以存在这样的实数，12PABOPOAOB结论：为中点则511OAOBPABOPOAOBOPOAOBABP。已知，不共线，点在上，求证且变形且求证，，三点共线1.向量的共线条件（平行向量基本定理）////0abababbab存在唯一一个实数使00ba注意：1若，则不存在0ba2若则存在但不唯一12211122//0//0babaaRbaxyxyaxybxy，其中，，，二、向量的运算（一）向量的加法ABC三角形法则：ABCD平行四边形法则：ab2、坐标运算：），（，），（设2211yxbyxaba则），（2121yyxx1、作图（二）向量的减法DBADAB2、坐标运算：），（，），（设2211yxbyxaba则），（2121yyxx1、作图平行四边形法则：abab+ab+ACBCABaλa（1）长度：（2）方向：时，当0异向与aa，时当0同向与aa时，当00aa（三）数乘向量baba）（aaa）（aa、数乘向量的运算律：3：、数乘向量的坐标运算2的大小和方向：、a1），（），（yxyxa5、平面向量基本定理22112121eeaaee使，，有且只有一对实数这一平面内的任一向量不共线向量，那么对于是同一个平面内的两个，如果向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。baba4、共线向量基本定理1、平面向量数量积的定义：bacos||||ba2、数量积的几何意义：.cos||||的乘积方向上的投影在与的长度等于babaaOABθB1(四)数量积abba）（1）（）（））（（bababa2cbcacba））（（34、运算律:2121yyxxba3、数量积的坐标运算每一种运算的刻划有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言平行四边形法则OAOBOCOBOAAB记OA=(x1,y1),OB=(x1,y2)则OAOB=(x1+x2,y1+y2)OBOA=（x2-x1,y2-y1）加法与减法三角形法则OAABOB实数与向量的乘积AB=λaλ∈R记a=(x,y)则a=(λx,λy)两个向量的数量积cos,ababab记1122(,),(,)axybxy则a·b=x1x2+y1y2五、向量垂直的判定01baba）（022121yyxxba）（六、向量平行的判定(共线向量的判定)）（）（0//1aabba），（），，（，其中）（221112210//2yxbyxayxyxab||32211AByxByxA），则，（），，（）若（||a22yx221221）（）（yyxx），则，（）设（yxa2七、向量的长度，）（2||1aaa2||aa八、向量的夹角||||cosbaba向量表示坐标表示向量表示坐标表示222221212121yxyxyyxx1.下面五个命题：⑴所有的单位向量相等；⑵长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；⑶若ab，满足||||ab且ab，同向，则ab；⑷由于零向量的方向不确定，故0与任何向量不平行；⑸对于任何向量ab，，必有||ab≤||||ab．其中正确命题的序号为()（A）⑴,⑵,⑶（B）⑸（C）⑶,⑸（D）⑴,⑸B2．已知ABCD的顶点(1,2)A,(3,1)B,(5,6)C,求顶点D的坐标.3．已知梯形ABCD中，||2||ABDC，M，N分别是DC、AB的中点，若AB1e，2ADe，用1e，2e表示DC、BC、MN．AMDCNB4：设12,ee是不共线的向量,已知向量122ABeek,123CBee,122CDee,若A、B、D三点共线，求k的值.解:∵A、B、D三点共线,∴ABBD(是待定系数)∵123CBee,122CDee,∴124BDCDCBee∴124ABee又∵122ABeek∴24k=∴8k=1.已知(1,3),(,1),abx且a∥b,则x等于()(A)3(B)3(C)31(D)132.已知(1,3),(,1),abx且a⊥b,则x=____.3.已知(1,3),(,1),abx,且2ab与2ab平行,则x等于（）C-3412321323abkkababkabab、已知（，），（，），当为何值时，（）与垂直？（）与平行？平行时它们是同向还是反向？法二:发现22222()ababab代入求得.例：已知向量,ab满足1,2,3abab,则ab_____.法一:由2222abaabb代入求得ab=-2.∴2222abaabb得ab1例：已知a、b是非零向量且满足(2)aba，bab)2(，则a与b的夹角是()（A）30（B）60（C）120（D）150分析:∵(2)0aba,∴22aab即22aab①∵(2)0bab,∴22bab即22bab②∴由①②可得2abab∴1cos,2ababab,∴选(B)122121,602,32.oeeaeebeeab例：设为两个单位向量，且夹角为，若，求与的夹角解：∵22212122122124422eeeeeeeea71211141460cos44212221eeee∴7a同理可得7b27262322221212121eeeeeeeeba217727cosbaba∴θ=120°例：平面直角坐标系有点)cos,1(xP，(cos,1)xQ，x[4,4]求向量OP和OQ的夹角的余弦用x表示的函数);(xf解:2cosOPOxQ,21cosOPOxQ,22coscos1cosOPOxxOPOQQ,∴22cos()(,)1cos44xfxxx112112//2222123324211751cosabxxababababababababababaabOPOAOBMOPMAMBOMAMB，，，分别求若2，，，求则1与的夹角，，，，，，在直线上1当最小时，求？2求？训练：•103PABCPAPBPBPCPCPAPABCOABCABACOPOAABACPABCABCBCaCAbABab1为所在平面上一点，若则为的心？2为所在平面上一点，且动点P满足，则的轨迹一定通过的心？中，，，=c且bccaABC，则的形状？垂内等边三角形空间向量复习abOABba结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。3.1.1空间向量的运算平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak＋)()()(cbacbaabba加法交换律加法结合律数乘分配律abba加法交换律bkakbak＋)(数乘分配律)()(cbacba加法结合律数乘:ka,k为正数,负数,零推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；nnnAAAAAAAAAA11433221（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。01433221AAAAAAAAnABCDA1B1C1D1GM始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量一、共线向量:零向量与任意向量共线.1.共线向量:空间两向量互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作ba//2.共线向量定理