二次函数知识归纳与总结

二次函数知识归纳与总结二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果特)0,,(2acbacbxaxy是常数，，特别注意a不为零那么y叫做x的二次函数。)0,,(2acbacbxaxy是常数，叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx2对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线cbxaxy2与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀-----一般两根三顶点（1）一般一般式：)0,,(2acbacbxaxy是常数，（2）两根当抛物线cbxaxy2与x轴有交点时，即对应二次好方程02cbxax有实根1x和2x存在时，根据二次三项式的分解因式))((212xxxxacbxax，二次函数cbxaxy2可转化为两根式))((21xxxxay。如果没有交点，则不能这样表示。a的绝对值越大，抛物线的开口越小。（3）三顶点顶点式：)0,,()(2akhakhxay是常数，二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx2时，abacy442最值。如果自变量的取值范围是21xxx，那么，首先要看ab2是否在自变量取值范围21xxx内，若在此范围内，则当x=ab2时，abacy442最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21xxx范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当2xx时，cbxaxy222最大，当1xx时，cbxaxy121最小；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当1xx时，cbxaxy121最大，当2xx时，cbxaxy222最小。二次函数的性质1、二次函数的性质函数二次函数)0,,(2acbacbxaxy是常数，图像a0a0y0xy0x性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当xab2时，y随x的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=ab2时，y有最小值，abacy442最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当xab2时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=ab2时，y有最大值，abacy442最大值2、二次函数)0,,(2acbacbxaxy是常数，中，cb、、a的含义：a表示开口方向：a0时，抛物线开口向上a0时，抛物线开口向下b与对称轴有关：对称轴为x=ab2c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的ac4b2，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当0时，图像与x轴没有交点。中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）则AB间的距离，即线段AB的长度为221221yyxxA0xB2，二次函数图象的平移①将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；②保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向上(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2③平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）特别记忆--同左上加异右下减(必须理解记忆)说明①函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，ab值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减3、直线斜率：1212tanxxyykb为直线在y轴上的截距4、直线方程：4、①两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:)()(tan112121xxxxxyybxbkxyy此公式有多种变形牢记②点斜)(11xxkxyy③斜截直线的斜截式方程，简称斜截式:y＝kx＋b(k≠0)④截距由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：1byax牢记口诀---两点斜截距--两点点斜斜截截距5、设两条直线分别为，1l：11ykxb2l：22ykxb若12//ll，则有1212//llkk且12bb。若12121llkk6、点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0)的距离:1)1(2002200kbykxkbykxd7、抛物线cbxaxy2中，abc,的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：①0b时，对称轴为y轴；②0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.口诀---同左异右（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c）：①0c，抛物线经过原点;②0c,与y轴交于正半轴；③0c,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab.二次函数单元测试一、选择题：1．下列函数中，是二次函数的是()A.28xyB.18xyC.xy8D.182xy2.二次函数12)12(2xkxy，当1x时，y随着x的增大而增大，当1x时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（）A．12B．11C．10D．93.若一次函数baxy的图象经过二、三、四象限，则函数bxaxy2的图象只可能是()A.B.C.D.4.在函数y=229xxx中，自变量x的取值范围是()A.x≥-2且x≠±3B.x≥-2且x≠3C.x-2且x≠-3D.x-2且x≠35.无论m为何实数，二次函数mxmxy)2(2的图象总是过定点()A.(-1，3)B.(1，0)C.(1，3)D.(-1，0)6.在直角坐标系中，坐标轴上到点P(-3，-4)的距离等于5的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个7.下列四个函数中，y的值随着x值的增大而减小的是（）A．xy2B．01xxyC．1xyD．02xxy8．抛物线cbxaxy2的图象如图，OA=OC，则()A．bac1B．cab1C．abc1D．以上都不OxOyxOyxOyxxCAyxO9.在同一坐标系中，一次函数caxy和二次函数caxy2的图象大致为()ABCD10．若0b，则二次函数12bxxy2的图象的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、填空题：11．已知二次函数解析式为562xxy，则这条抛物线的对称轴为直线x=，满足y＜0的x的取值范围是，将抛物线562xxy向平移个单位，则得到抛物线962xxy。12．请写出一个开口向上，对称轴为直线2x，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式。14．已知抛物线yaxbxc2经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是________。15．如右图所示，长方体的底面是边长为xcm的正方形，高为6cm，请你用含x的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S=________，长方体的体积为V=__________，各边长的和L=__________，在上面的三个函数中，_______是关于x的二次函数。16.抛物线22xxy与直线4y有___个交点，交点坐标是_________________。三、解答题：17.当二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是1,321xx，且与y轴交点为（0，-2），求这个二次函数的解析式。OyxOyxyOxOyx18.求抛物线3522xxy与坐标轴的交点坐标，并求这些交点所构成的三角形面积。19.一男生推铅球，铅球出手后运动的高度)(my，与水平距离)(mx之间的函数关系是35321212xxy，那么这个男生的铅球能推出几米？20.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系xm3162，请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式。21.心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分钟)之间满足函数关系)300(436.21.02xxxy，y的值越大，表示接受能力越强。(1)若用10分钟提出概念，学生的接受能力y的值是多少?(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了?通过计算来回答。x622．如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是AB宽20米，水位上升3m就达到警戒线CD，这是水面宽度为10米，（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？【参考答案】一、选择题：1.D；2.C；3.C；4.B；5.A；6.C；7.B；8.A；9.B；10.C。二、填空题：新课标第一网xkb1.com11.3，51x，上，4；12.342xxy（答案不唯一）；13.21x，1x或2x；14.)8,1(；15.x24，26x；248x，26xV；16.两，（-2，4）和（1，4）。三、解答题：新课标第一网xkb1.com17.234322xxy。18.)0,3(，),(021，)3,0(，面积421。19.10米。提示：令0y，横坐标（正值）即为所求。20.)5430(486025232xxxy。21.（1）59y；（2）用8分钟与用10分钟相比，学生的接受能力减弱了；用15分钟与用10分钟相比，接受能力增强了。22.（1）2251xy；（2）5小时。