自适应信号处理2013习题1

（一）简述:(1)LMS算法与RLS算法有何特点?(2)写出至少两种改进的LMS算法及其改进思路。(3)格形滤波器有何特点?解答：（1）LMS算法：优点：(a)实现简单。（提示：以计算量阐述该点）；(b)稳定，跟踪性能较好缺点：收敛速度慢。（提示：以影响收敛性的两个因素来阐明该点）RLS算法：优点：(a)收敛性好（提示：其收敛速度与LMS算法相比较，有哪些优点）；(b)极限稳态误差为零缺点：运算量较大（提示：每次迭代运算的计算量说明）（2）(a)归一化LMS算法（思路提示：当输入功率变化时，失调系数即过剩误差min将变化，若使LMS算法的值随输入功率inP成反比变化，则过剩误差将保持不变;权矢量的更新公式为*1Hwnwnenxnxnxn）；(b)简化LMS算法（思路提示：自适应调整方向仅取决于ixnen的符号；权矢量的更新公式可简化为几种形式12signsigniiiwnwnxnen；12signiiiwnwnxnen；12signiiiwnwnxnen）（3）格形滤波器的特性：1）正交性：（提示：各阶预测输出误差和输入的正交性及各阶后向预测误差的相互正交性，加公式说明）2）相关函数和反射系数的关系：平稳时间序列的相关函数值由反射系数序列完全确定，反之亦然。（二）简述:为何要求自适应算法特别是空域自适应算法具有稳健性？可以从哪几个方面增加算法稳健性？举例说明。解答：（第一问）在处理系统存在误差、干扰、天线平台快速运动或信号为宽带时，自适应处理器的性能将会降低。比如说，约束算法对信号方向矢量很敏感，信号方向有误差时，自适应处理器将把其视为干扰而加以抑制。对SMI算法来说，最佳权为10wRa。但必须根据阵列输入数据进行估计，而估计必有误差，同时由于先验指示不准、通道幅相误差等均能造成性能下降。再如，通常自适应波束零点比较尖锐，在干扰或者天线平台快速运动时，若处理速度跟不上，就将使干扰抑制能力下降，而采用高速处理算法有时代价很大。当信号和干扰为宽带时，用窄带处理也将使性能下降。宽带的一种解决办法是采用Frost宽带阵，但是这种阵相当复杂。用于改善处理系统在有误差、快速运动环境或宽带情况下的情况下的性能的自适应算法称为稳健自适应算法。常见的Robust算法包括导数约束法、双线性约束法、多线性约束法、泛函不等式约束法、半无穷维二次优化法、范数约束法、波束空间处理法和特征空间处理法一起其他许多方法。（第二问）（提示：以课本10.7节涉及中的算法或课件中稳健波束中的算法（第十章_2）为例说明，需要公式说明，并文字说明该算法从哪方面对稳健性进行了增强）（三）已知4点数据x(0)、x(1)、x(2)、x(3)，采用二阶预测滤波器时，(1)写出相关法输入矩阵X1和前加窗法之输入矩阵X2(2)证明：相关法的相关矩阵111TRXX是对称的和Toeplitz的；解答：（1）相关法的输入矩阵为10001122330xxxXxxxxx前加窗法的输入矩阵为200011223xxxXxxxx（2）由*rikEunkuni和*rmrm得：相关法输入的相关矩阵11132000000011112222333300000101230120012323301TXTiREXXxxxxxxExxxxxxxxxxxxxxxxxExxxxxxxxxExiExixi31332101iiiExixiExi（提示：根据111TRXX的表达式文字说明为什么该矩阵是对称的和Toeplitz的）（四）某系统构成如题图4-1所示题图4-1其中v1(n),v2(n)为均值为0,方差分别为12,22的高斯白噪声，111()()(1)()Hzdnbdnvn：，22()()(1)()Hzxnbxndn：，2()()()Unxnvn如题图4-2所示，设计一个2阶维纳滤波器,其输入为U(n)输出以最小方差逼近d(n)。题图4-2计算：利用b1,b2,12,22来表示维纳滤波器表达式中的输入信号U(n)自相关矩阵uuR，以及互相关矢量udr。解答：这个一个典型的维纳滤波问题，期望应为dn，输入信号为Un，权向量应满足维纳霍夫方程0Rwp1()vn1()Hz()dn2()Hz()xn()Un2()vn1Z*1W(1)Un*2Wˆ()dn()dn()en()Un其中*010,101rrprrpRp由于维纳滤波器仅有两个抽头权系数，所以只需要分别计算出0r、1r、0p和1p4个参数，再通过矩阵求逆运算，就可以得到最优的滤波器权向量0w。由*rikEunkuni得**2222**222220=0xrEununExnvnxnvnExnxnvnxnvnvnr类似的，有**2211=111xrEununExnvnxnvnr再根据*pmEunmdn有**222**2220=10111=11110xxxxpEundnExnvnxnbxnrbrpEundnExnvnxnbxnrbr从这里我们看出，我们需要知道1vn与xn的输入输出关系。设1vn和xn对应的Z变换分别为1VZ和XZ，于是有1211XZHZHZVZHZVZ其中1HZ和2HZ分别由差分方程111dnbdnvn和21xnbxndn确定，为12111211,11HZHZbzbz因此子系统1H和2H级联的系统函数为1212121211HZHZHZbbzbbz或1211211XZHZVZazaz其中112abb,212abb。由此得出，1vn与xn之间的差分方程为12112xnaxnaxnvn从而有221222211011xaraaa12101xxarra（五）对于题图5的均匀线阵，其加权矢量为TMww],,[1w（1）求阵列波束图的表达式并分析影响波束图主瓣宽度的因素；（2）求在保持0阵输出为常数f的条件下使输出功率2outPEy最小的最佳权optw及相应的最小输出功率outminP。（3）如果接收数据中包含了1个有用信号s(t)及1个干扰信号J(t),试分析有用信号功率对(2)中求得的最佳权optw的影响。题图5解答：（1）阵列接收信号xnasn方向矢量121,,,...,TjMjjaeee，其中2sind阵列波束图公式说明（提示：可参考课本9.3.1,注意的是课本中的指的是0的情况，有[1,,1]Tw，而这里TMww],,[1w）影响波束图主瓣宽度的因素（提示：见课本9.3.1中公式（9.3.7），以文字说明受哪几个因素影响）（2）阵列输出Hynwxn，对权向量的约束为0Hwaf输出功率2HHHoutxPEyEwxxwwRw。（余下思路提示：仿照线性约束最小方差（LCMV）或MVDR波束形成器的最小输出功率推导，其中不同点是需把0Hwaf代替原式中的01Hwa来求解）。（3）阵列输出变为()HHynwxnwsnJnvn则信号的自相关矩阵2000HsJjnRRRIpaaR。由矩阵求逆引理公式111111HHHBabBBabBbBa得110001110001HjnjnjnHjnppRaaRRRaRa所以最优权向量可表示为10110000101000111100000000100011111HjnjnjnHjnHHjnjnjnjnHjnpppppwRaRaaRaRaaRaaRaRaRaaRaaRa令100HjaRa，则上式可表示为11000010001111jnjnjnppppRaRawRa该公式即体现出了有用信号功率与最佳权矢量的关系（六）(1)对于题图6-1所示的自适应滤波器，其输入矢量为123()(),(),()Tnxnxnxnx，加权矢量为123,,Tw。根据准则2()outMinPEynw求最佳权123,,Toptoptoptoptw题图6-1(2)对于题图6-2所示的自适应滤波器，其输入矢量为123()(),(),()Tnxnxnxnx，加权矢量为231,,Twww。根据准则2()outMinPEynw求最佳权231,,Toptoptoptwww第3页1()xn2()xn3()xn()yn2w3w题图6-2(3)如果将题图6-2中天线1接收数据作为期望信号d(n)，而用天线2，3接收数据进行加权求和后对d(n)按照MMSE准则对其进行估计，当天线接收数据中包含一个弱信号（如卫星导航信号，比噪声功率还低）和一个强干扰（其功率远远大于噪声），此时如果采用LMS算法和（2）中算法求解23,ww有何差异及优缺点？解答：（1）阵列输出Hywx，则输出功率2HHHoutxxPEyEwxxwwRw根据最小输出功率准则，输出功率对w求导得200xxoptRww（2）阵列输出1HHynwxnxnwx，其中23,T，23,Txxnxn，（余下思路提示：该方法实质就是功率倒置自适应算法（见课本10.10.3节），先计算2()outPEyn（最终结果用输入向量x中的各个分量和权向量w表示，然后根据最小输出功率准则，输出功率对w求导得出最优权向量（仿照课本10.10.3节中推导）求得最优权向量）（3）（提示：从实质上来说，用LMS算法和（2）中的方法是等效的，以LMS算法的优缺点来说明LMS算法的特性，然后文字说明（2）中方法的特性）