湖南城市学院-随机过程讲稿(11)

14.1白噪声4.2高斯随机过程4.3高斯随机过程的线性变换4.4常用时间序列模型第四章白噪声与高斯随机过程数字化技术的应用和发展使得随机序列的分析变得日益广泛和重要，并由平稳随机过程在时间轴上的取样引出平稳离散随机信号或时间序列的概念。对于这类随机序列，主要采用相关函数和功率谱进行分析。对于平稳离散时间信号，还常用时间序列描述方法进行研究，由此提出时间序列模型法。它是采用各种随机差分方程表示时间序列信号的模型。在许多情况下，一个平稳离散随机信号可以视为白噪声序列通过某一离散时间线性系统所产生的。2/404.4常用时间序列模型在时间序列信号模型分析中，自回归(AR)模型、滑动平均(MA)模型和自回归滑动平均(ARMA)模型是三种最常见的标准线性模型，它们均由白噪声序列通过离散时间线性系统而产生。而实际应用中许多平稳时间序列往往可由这些模型近似表示，使得有关的分析变得更为简单，也为平稳随机序列的分析和产生提供了有效方法。另外，这些线性模型都具有连续功率谱形状，在参数谱估计方面显示出极大的优点。除非特别说明，本章只讨论具有连续谱特性的平稳时间序列。3/40其中W(n)为零均值的平稳白噪声，其方差为，ak(k=1,2,…,N)为常数。上式就成为N阶自回归模型。实际上X(n)可以看作平稳白噪声通过离散线性系统后的响应。4.4.1自回归模型（AutoRegressiveModel,AR）11...NXnaXnaXnNWn设随机序列X(n)可以用如下差分方程来描述：2w1.一阶AR模型当上述式子中的N=1时，称为一阶AR模型，如果令a=-a1，则有1XnaXnWn（1）（2）式(2)是一个一阶差分方程，假设X(0)=0，根据差分方程的递推方法可得：（1）数学期望：1212112...1nnXnaXnWnaXnWnWnaWaWaWnWn12112...11[()]1(1)[()]1[()]1nnnnEXnEaWaWaWnWnaEWnaaaEWnaEWnna如果,由上式可以看出，的均值有可能不满足平稳性，即可能不满足一阶平稳。然而，如果系数，当较大时，则有在此情况下，是一阶渐进平稳的。[()]0EWn()Xn1an1lim[()][()]1nEXnEWna()Xn由于是均值为零的白噪声，所以有：()Wn[()]0EXn（2）自相关函数：11111222(1)2222,1...11...111...[]1,111,2,...,1XnmmmnnmnmmmmnwnmwnRnmnEXnmXnaWaWnmaWnmEaWaWnWnaaEWWaEWnmWnaaaaaaanna显然，当时，并不满足自相关平稳性，但是，当并且足够大时，X(n)是趋于平稳的，即有：)(nx1a1an22lim(,)()1mwxxnaRnmnRma对于实随机序列，由于对于对称分布，有m)(mR22()1mwxaRma对于，不难推得，当为正数时，恒为正，且呈指数衰减。当为负数时，正负相间指数衰减。1aa)(mRxa)(mRx根据可得的方差为：()Xn说明平稳随机序列的方差比白噪声方差大。最后讨论一阶AR模型的功率谱。对(2)式两边取z变换，可得其传递函数为：)(mRx222(0)1wxxRa()Xn2x2w1()1()()1XzzHzWzazza1XzazXzWz从系统传递函数表达式可以得，一阶AR模型只有一个极点z=a，离散系统稳定的条件是所有极点都位于单位圆内，即，因此系统稳定的条件与渐近平稳的条件是一致的。1a（3）系统输出功率谱为：令，有212()()()()(1)wxwzGzHzHzzaazjez2222(),12cos1wwxjGaaae2.二阶AR模型当上述式子中的N=2时，称为二阶AR模型，即1212XnaXnaXnWn（3）式中和均为实常数，。上式二阶差分方程的特征多项式为：1a2a02a212rara为了推导方便，定义后向差分算子：于是，二阶AR模型成为：2,1,2BBXnXnBXnXn21212(1)()()(1)(1)()aBaBXnWnrBrBXn（4）式中和为二阶AR模型特征多项式的根，即1r2r2120rara21,2112142raaa方程（4）的解由两部分组成，即由奇次解和特解组成。由（4）式可知，其中必然有一个特解为：12121212()1()()(1)(1)(1)(1)rrXnXnWnrBrBrrrBrB111201211120121()()kkkkkkkrrBWnrrrrWnkrr根据模型差分方程，零输入下得齐次方程奇次解为：式中和是待定系数，由初始条件确定。所以二阶AR模型的解：12()(1)(2)0XnaXnaXn01122()nnXncrcr1c2c11121122012()()kknnkrrXncrcrWnkrr（5）当时，(5)式右边齐次解随的增大而趋于零，而特解部分具有有限方差，在均方意义下收敛，随的增大而渐近收敛于特解公式的平稳结果。实际上，二阶模型的平稳条件与其系数和是有关的，这可通过和平面表示。12,1rnn1a2a1a2a(1)当特征根为复数时：2120rara特征方程04221aa24224212122112,1aajaaaar221arr根据平稳条件的要求，系数和必须满足：1a2a1042221aaa(2)当特征根为实数时：特征方程的函数为：04221aa212ararrf由（6）式可知，特征函数是一个开口向上的抛物线。而且：（6）根据平稳条件，因此有：2,0211arardrrdf21211aar另外，还要求：12,1r-11rf(r)0110112121aafaaf于是，可得：1,11,0421221221aaaaaaa这就是保证二阶AR模型平稳的条件，可用系数分布图说明。图中示出了二阶系数欠阻尼、过阻尼和临界阻尼三种情况的系数区域分布，分别对应于以下三种情况：（1）欠阻尼：出现和一对共轭复根。（2）过阻尼：出现和不同的实根。（3）临界阻尼：出现和相同的实根。,12a121aa121aa以及1z2z1z1z2z2z综合（1）和（2）式分析，得到以下三个条件：-3-2-10123-2-1.5-1-0.500.511.522.53a2=-a1-10a1a2a2=0.25*a1*a1112-1-2过阻尼欠阻尼临界阻尼在（7）式中W(n)是白噪声序列，它的取值在任意两个时刻是不相关的，而X(n)是W(n)的线性组合，所以有)(mnx)()2()1()(21mnWmnXamnXamnX0,00,)]()([2mmnXmnWEw当X(n)是平稳过程时，现在讨论其自相关函数：用代入到方程（3）中可得：对上式两边同时乘以X(n)，并取数学期望可得：)()()()2()1()(21nXmnWEnXmnXamnXamnXE（7）（8）根据（7）和（8）式可得：以及0,)2()1()0(221mRaRaRwxxx0,0)2()1()(21mmRamRamRxxx0)0()1()2(0)1()0()1()2()1()0(2121221xxxxxxwxxxRaRaRRaRaRRaRaR由此解得：])1)[(1()1()0(122222aaaaRwx)0(1)1(21xxRaaR)0()1()2(2221xxRaaaR对于时，有,0)2()1()(21mRamRamRxxx0m（9）方程（9）具有如下形式的通解：mmXrBrBmR2211式中和为特征方程的根。B1，B2是常数，由边界条件来决定的。其中，特征根为：1r2r2120rara21,2112142raaa对于特征根，显然有：221121arrarr（10）为了确定B1，B2，在式（10）中，令m=0,m=1，则有：22112110rBrBRBBRXX（11）)0(1)1(21xxRaaR根据前面推到可知：，代入到（11）式中得：221121212101011rBrBRrrrrRaaRXXX将式（11）中的RX(0)变形可得：12110rBBRrX（12）（13）将式（12）减去式（13）可得：0112121122XRrrrrrrrB于是可得：01121212122XRrrrrrrB将式（11）中的RX(0)变形可得：22120rBBRrX（14）将式（12）减去式（14）可得：0122121211XRrrrrrrrB01121212211XRrrrrrrB将B1和B2的值代入到（10）可得：01112121122111222211XmmmmXRrrrrrrrrrBrBmR最后，分析二阶AR模型的功率谱密度。对（3）两边取Z变换，容易知道其传递函数为：于是，的功率谱为：221111)(zazazH222111)(jezwxzazaG,122212jjweaea)(nX三.N阶AR模型定义如下随机差分方程为阶AR模型式中为实常数，且。对上式两边取变换，可得：于是可得到N阶AR模型的传递函数：N)()()1()(1nWNnXanXanXN),,2,1(Nkak0Naz)1(),()(00azWzzXaNkkkNkkkzazWzXzH111)()()(（15）根据它的特征多项式可解出个的极点于是，该模型的传递函数可写为：所以，AR模型的传递函数只有极点，除原点外没有任何零点，属于全极点模型，对应于全极点滤波器，具有无限冲激响应(IIR)。因此，模型传递函数的性质完全取决于个极点在平面上的分布情况。可以证明，如果所有个极点均满足，那么，AR模型信号满足渐近平稳性。N)(zHNrrr,,,21)1()1)(1(1)(11211zrzrzrzHNNzN),,2,1(1Niri条件意味着有界输入通过线性系统导致有界输出，系统是稳定的，这说明模型传递函数的稳定性与模型的平稳性是等价的。根据AR模型的传递函数，阶AR模型的功率谱密度为：可见AR模型的功率谱由各模型系数确定。)(zHN),,2,1(1Niri212221)()(NkkjkwwxeaHG,)(212Nikjwze),,2,1(Nkak由于NmRamRamRmnXnWEmnXNnXanXanXEXNXXN1)()()()]()1()([110,00,)]()(