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1第一讲数列极限一、上、下确界1、定义:1)设SR,若:,MRxSxM,则称M是数集S的一个上界,这时称S上有界;若:,LRxSxL,则称L是数集S的一个下界,这时称S下有界;当S既有上界又有下界时就称S为有界数集。2)设SR,若:,MRxSxM,且0,:xSxM,则称M是数集S的上确界,记supMS;若:,LRxSxL,且0,:xSxL,则称L是数集S的下确界,记infLS。2、性质:1)(确界原理)设SR,S,若S有上界,则S有上确界;若S有下界,则S有下确界。2)当S无上界时,记supS;当S无下界时,记infS。3)sup()max{sup,sup};inf()min{inf,inf}ABABABAB。4)supinf();infsup()SSSS。5)sup()supsup;inf()infinfABABABAB。6)sup()supinfABAB。(武大93)7)设(),()fxgx是D上的有界函数,则inf()inf()inf{()()}sup()inf()sup{()()}sup()sup()xDxDfDgDfxgxfDgDfxgxfDgD3、应用研究1)设{}nx为一个正无穷大数列,E为{}nx的一切项组成的数集,试证必存在自然数p,使得infpxE。(武大94)二、数列极限1、定义:1)lim0,():,||nnnaaNNnNaa,称{}na为收敛数列;2)lim0,:,nnnaMNnNaM,称{}na为数列;3)lim0,:,nnnaMNnNaM,称{}na为数列;24)lim0,:,||nnnaMNnNaM,称{}na为数列;5)lim0nna,称{}na为无穷小数列;2、性质1)唯一性:若lim,limnnnnaaabab。2)有界性:若{}na为收敛数列,则{}na为有界数列。3)保号性:lim0,,0.nnnaaNnNa4)保不等式性:若0lim,lim,().nnnnnnaabbabnNab5)迫敛性:若0(),limlimlim.nnnnnnnnnacbnNabccc6)四则运算:若lim,lim,nnnnaabb则lim();lim();lim(0)nnnnnnnnnbbababababaaa。7)Stolz定理:设{}ny为严格增的数列,若11limnnnnnxxyy存在,则11limlimnnnnnnnnxxxyyy。证明:(1)1212{,,,},0,1,2,,nnknaaaSbknbbb,则1212minmaxnnnnaaaSSbbb。(用归纳法证明),0,0()(),()()acaaccbdabdbacacdbdcbdbbdd,11111111111minminnnnnnnnnnnnnaaaaaaaSSbbbbbbb;11111111111maxmaxnnnnnnnnnnnnaaaaaaaSSbbbbbbb。(2)设1111lim0,,:||2nnnnnnnnnxxxxrknkryyyy,由(1)得||2nknkxxryy,又(1)()nkkknknnnnkxxryyxxrryyyyy,所以||||||nkknknnnkxxryxxrryyyy,又因为lim0,:||2kkkknnnxryxryNknNyy,从而||()nnxrnNy3、极限存在条件:31)(Cauchy收敛准则){}na收敛的充要条件是0,:,||nmNnmNaa;2)(单调有界收敛原理)若{}na单调增上有界,则{}na收敛,且limsupnnnnaa;若{}na单调减下有界,则{}na收敛,且liminfnnnnaa;3)(致密性定理)有界数列必有收敛子列。4){}na收敛的充要条件是.limsup()0mknmknaa4、子列:12,{}knnna称为{}na的子列:1){}na收敛的充要条件是{}na的任何子列都收敛;2)limnna存在221lim,limnnnnaa都存在,且221limlimnnnnaa;3)lim0,nnaA满足naA至多有限项,满足naA有无穷多项,称A为{}na的上极限;lim0,nnaB满足naB至多有限项,满足naA有无穷多项,称B为{}na的下极限;limnna存在limlimnnnnaa。(1)limlimsup;limlimsupnknknnnnknknaxax;(2)0()limlim,limlimnnnnnnnnnnabnnabab;(3)limlim()nnnnaa;(4)limlimlim()limlimlim()limlimnnnnnnnnnnnnnnnnnnababababab三、应用研究1、设111ln21nann,证明limnna存在。证:令1111111ln,ln(1),2121nnnnnnnndxdxdxbnnnxnn11,nnnnaabb,从而limnna.2、211[3,0),,,1,2,222nnxcccxxn,证明limnnx存在并求其值。证明:显然2ncx,10x。若0nx,则2221||||||||,||,024222nnnnxcccccxxcx,4222221212222222121212122211(),(),22kkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxx,从而212lim,limkkkkxaxb,由22221212,,1,2,2222nnnnxxccxxn得22,2222cbcaab,从而221(),()(2)02abbaabab,若20ab,由222cab,得2240aac,则3c,总之有1ab,即lim1.nnx3、10(2),01nnnyyyy,求证:lim1nny。(武大00)证明:()(2)1(01)fxxxx,0100(2)1yyyy,若01nyy,则101nnyyy,从而lim()nnya存在,在1(2)nnnyyy取极限,得0(2),01aaaya,所以1a。4、设123443,3,3,4333aaa,如果数列{}na收敛,计算其极限,并证明数列{}na收敛于上述极限。(武大99)证明:由113nnaa,2121222222212111114(),4()nnnnnnnnaaaaaaaa,可归纳证得:212122235,,,nnnnnaaaaa从而221lim,limnnnnaa都存在,令221lim,limnnnnaaab,由2122221113,3nnnnaaaa,取极限得113,3,3,5,abababababbaab,所以数列{}na收敛,且lim4nna5、设数列{}na有一子列{}kna收敛,且2{}{}knnaa及21{}{}knnaa都有无穷个元,而2{}na及21{}na都为单调数列,问{}na上否收敛?为什么?(武大98)证明:1)单调数列若有收敛子列,则本身收敛:2)由1)知2{}na及21{}na都收敛,又因为221limlimlimknnnnknaaa,故{}na收敛。6、设0na,且na,证明数列{}na中存在一子序列{}kna是收敛的子序列。(武大97)7、设()naan,令max{,0},max{,0}nnaaaa,证明()naan。(武大96)8、设{}na无上界,证明存在子序列{}kna,使得()knak。(武大95)9、设110,2,2,1,2,,nnaxaxxn证明极限limnnx存在并求极限.(北大02)5证明:易知22nxa,当1xa时,{}nx单调增;当1xa时,{}nx单调减,从而极限limnnx存在,令limnnxx,在12nnxx两边取极限得2221xxxx,再由22nxa得lim2nnx。10、求极限22lim1nnnaa.(北大01)解:当21a时,2220()01nnnaaa,22lim01nnnaa;当21a时,221lim12nnnaa;当21a时,2221limlim1111nnnnnaaa。11、设()fx在点a右导,()0fa,求极限1()lim()nnfanfa.(北大01)解:12、lim1,(0)nnnaa.(北大98)13、证明:(1)11(1)nn为递减数列:(用1[(1)],0nnbanbnaba)(2)111ln(1),1,21nnnn(华东师大00)14、设R中数列}{na,}{nb满足,2,1,1nqabannn其中10q,证明:(1)若}{nb有界,则}{na有界;(2)若}{nb收敛,则}{na收敛。(清华01)证明:(1)设1||,||nbMaM,由于1211110()()nknnnnnnnnkkabqabqbqaqbqa,从而1101||1nknnkaqMqMMq。(2)设limnnbb,11100|||()()()|1nknknnkkkbaqbqaqbq1101|()()()()||()|nknknkkknqbbqabqb61101|()()||()()()()|||1nmnkknnknkkkmqqbbqbbqabbq|()()|2||11mnnnkkknmqqqbbMbqq15、(1)用语言证明:11lim1xx。(2)设函数f在点a可导,且0)(af。求:nnafnaf)()1(lim。(3)求极限ppppnnn121lim,其中0p。(清华00)16、求极限)]1([lim1nnenn(清华99)17、设limnnaa,证明1222lim2nnaanaan。(上海交大04)证明由Stolz公式1212222(1)limlim(1)2nnnnaananaannn。18、设,3)1(31nnnxxx(01x为已知)求limnnx.(南京大学00)19、求22limsin()nnn。(浙大01)20、试证:单调数列{}nx收敛到a的充要条件是存在子列{}knx收敛到a。(武汉所00)
本文标题:第一讲-数列极限(数学分析)
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