电磁场的相对论变换-贺彬-2020.6

1电磁场的相对论变换（相对性原理·洛伦兹变换·麦克斯韦方程组·协变性）贺彬2019.8为方便起见，我们只讨论真空中的情形。一．真空中的麦克斯韦方程组真空中的麦克斯韦方程组为（1）（2）（3）（4）其中为电场强度，为磁感应强度。EB若采用直角坐标形式，则上面（1）-（4）式化为八个分量形式方程00yxzyxzyxzyxzEEExyzBBBxyzEBEyztBEExzt①②③④000000yxzyxzyxzyxzEEBxytBEByztEBBxztBBExyt⑤⑥⑦⑧二．最简关联下的洛伦兹变换如图所示，两个惯性系具有最简关联。由相对性原理和光速不变原理可以导出如下变换及其逆变换0000EBBEtEBt22)()xxvtyyzzvttxc（Ⅰ2+)(+)xxvtyyzzvttxc（Ⅱ其中2211vc其称为最简关联下的洛伦兹变换。三．坐标微分变换关系对（Ⅱ）中各式求偏导数得xtxxxttyyzzxttxttt3利用（Ⅰ）中各式又有2,,,xtvxtvxxctt与上式结合得坐标微分变换关系（Ⅲ）2vxxctyyzzvttx四．电磁场量变换将（Ⅲ）式代入（一）-④式得（Ⅳ-1）2xyzzyEvEvBBExytc将（Ⅲ）式代入（一）-⑤式得（Ⅳ-2）221xzyyzBvBEEvBxczct将（Ⅲ）式代入（一）-⑦式得(Ⅳ-3)221xzyyzBvBEEvBxczct其中利用了关系，其证明见附录。0021c4根据相对性原理，与（一）-④、（一）-⑤、（一）-⑦三式对应的方程形式为（Ⅳ-1）’xzyEEBxzt(Ⅳ-2)’yxzEEBxyt（Ⅳ-3）’21xzyBBExzct将对应式相比较可得（Ⅳ-4）xxyyzzzyEEEEvBEEvB22xxyyzzzyBBvBBEcvBBEc（Ⅳ-4）式就是我们得到的变换方程组。注意在上面的讨论中，对于矢量场的散度方程（一）-②和（一）-④并无利用，以上结果完全是利用电磁场方程的旋度式得出的。根据矢量场分析理论，要完备地描述一个矢量场，必须同时明确其散度与旋度，只知其一无法完全确定一个矢量场。为此，我们再来考察其散度式。将（Ⅲ）式及（Ⅳ-4）的逆变式（见附录）代入（一）-①、（一）-②中可得20xxyzzyEEvEvBEvBxctyz5整理得2yyxxzzEBEEEBvvxyzyzct由于0yxzEEEExyz所以21yxzBEByzct这正是与（一）-⑥式对应的协变式。这说明在（Ⅳ-4）式所描述的变换中，散度与旋度都满足协变性，故（Ⅳ-4）式是唯一正确的变换式。6附录1.设为一矢量场，A,,.xyzAAAAyxzyxzxyzAAAAxyzAAAAxyzijkAxyzAAAA同理。2.（Ⅳ-4）式的逆变换可由其本身直接导出。例如由以下两式yyzEEvB2zzyvBBEc第二式两边同乘后与第一式相加得v221.yyzyyyzEvEvBEcEEvB即得其他各式均可由此方法导得：xxyyzzzyEEEEvBEEvB722xxyyzzzyBBvBBEcvBBEc3.由真空麦克斯韦方程组，对第三式两边取旋度得2EEBt利用第一、四式得220020EEt同理有220020BBt此两方程为标准的波动方程。由此即可得出0021c