广义相对论_ppt05

广义相对论简介授课教师：范忠辉云南大学物理科学技术学院第五章球对称的引力场¾5.1球对称度规场的一般结构¾5.2史瓦西外部解¾5.3伯克霍夫定理¾5.4史瓦西坐标的物理意义¾5.5引力源中的内引力场2010-7-182广义相对论_球对称的引力场5.1球对称度规场的一般结构2010-7-18广义相对论_球对称的引力场3度规场是由度规张量的10个独立分量描述的，每一分量都是时空坐标的四元函数。引力场由度规场确定。因此，球对称引力场即球对称度规。球对称度规为在三维空间正交变换（转动或反射）下，线元（或度规张量）形式不变的度规。在三维空间正交变换下，只有两空间点之间的距离、径向距离r及其微分和时间t及其微分是不变量。因此，所求的只能由这些不变量组成。2010-7-18广义相对论_球对称的引力场4因而，球对称度规的最普遍形式为：作一坐标变换，令，则上式化为：令其中为使cdt’恰为全微分的积分乘子，即（5.1.1）（5.1.2）（5.1.3）2010-7-18广义相对论_球对称的引力场5则以（5.1.3）式代入（5.1.1）式，即可消去drdt项，得到一个时轴正交系，即或写为（5.1.4）（5.1.4）式是球对称度规的最普遍形式。为求解Einstein方程，通常把b和a写出指数形式（因为这将简化计算中的某些表示式）：上式只考虑了度规场的几何对称性和坐标选取的任意性。为完全确定度规，需有Einstein引力场方程来确定任意函数和。如果是静态（或称稳态）的：（5.1.5）（5.1.6）2010-7-18广义相对论_球对称的引力场6度规的逆变形式为：由（5.1.5）式，可得度规形式为：（5.1.7）（5.1.8）5.2史瓦西外部解2010-7-18广义相对论_球对称的引力场7在研究太阳引力场中行星轨道近日点的进动，我们需要一个球对称质量分布周围引力场的精确解，至少是比较精确的解。这就是史瓦西（Schwarzschild）解。这个解的重要性大大超出了在太阳系中的应用。现在认为，任何非转动、电中性的恒星的引力坍缩，其最后结果必定将导致Schwarzschild几何；即使初始是非对称的，任何与对称的Schwarzschild场的偏离，最终都将以引力波的形式辐射掉。下面求解质量分布周围真空区域的Einstein场方程。如果物质分布是球对称的，这一物质分布所产生的引力场必定也是球对称的。此外，如果质量分布是静止的并且没有转动，引力场必定也是静态的。一个场被称为是静态的，必须同时满足时间无关和时间对称两个条件，后者即时间反演不变。对于一个球对称的场，自然是应用球极坐标。角坐标和是明确的；这两个坐标的测量，只取决于外面把一个以原点为中心的圆周分成等份的能力；即使在不知道度规的情况下，我们也能做到。“径向”坐标r的含义是不明确的，因为我们不知道它和距离测量的准确关系。“时间”坐标t也有类似的不确定性。2010-7-18广义相对论_球对称的引力场8场是球对称和静态的，采用球坐标：我们用（5.1.6）式的度规形式（5.2.1）未知函数为和，我们将用Einstein方程来求出它们。度规的逆变形式为：（利用）（5.2.2）2010-7-18广义相对论_球对称的引力场9形式为（5.2.1）式的度规张量的Christoffel符号（撇号表示导数：）的所有非零分量如下：按联络公式：由（5.2.1）和（5.2.2），得到度规及其逆变形式的分量：所有非对角分量为零。作业1：推导Christoffel符号的上述表示式。（5.2.3）2010-7-18广义相对论_球对称的引力场10作业2：证明度规（式5.2.1）和Christoffel符号（式5.2.3）导致Riemann张量的下列非零分量：Riemann张量：（5.2.4）2010-7-18广义相对论_球对称的引力场112010-7-18广义相对论_球对称的引力场122010-7-18广义相对论_球对称的引力场13作业3：证明由式（5.2.4）得到的Ricci张量具有如下的非零分量：里契（Ricci）张量：作业4：证明曲率标量R的值为：（5.2.5）（5.2.6）2010-7-18广义相对论_球对称的引力场14方法一2010-7-18广义相对论_球对称的引力场15方法二2010-7-18广义相对论_球对称的引力场16方法三2010-7-18广义相对论_球对称的引力场171.证明：这里指标第一项对时间求导，显然这项为零。所以3.证明：曲率标量R。由定义所以2.证明：由里契张量这里指标所以2010-7-18广义相对论_球对称的引力场18Ricci张量和曲率不变量可以从Christoffel符号计算出来；只有的对角分量不为零。真空中的Einstein方程，则上面的场方程变为下面的方程组：上述方程可以相当容易地积分出来。考虑（5.2.7），它可以写成它有普遍解（C为常数）：（5.2.7）（5.2.8）（5.2.9）（5.2.10）提示：代入，简化微分方程（5.2.11）。（5.2.11）（5.2.12）利用2010-7-18广义相对论_球对称的引力场19由（5.2.8）减（5.2.7），我们得到由此但在大距离上（），度规张量必须化为球坐标下平直时空的度规张量。因此，和必须在这一极限下趋于零，而且常数必须为零，则有因而的解为（5.2.13）（5.2.14）（5.2.15）（5.2.16）最后一步，我们必须验证，解（5.2.12）式和（5.2.16）式也满足至今还没有用过的微分方程（5.2.9）和（5.2.10）。作业5：对此验证。按照（5.2.12）和（5.2.16）式，球对称场的时空间隔的形式为：（5.2.17）2010-7-18广义相对论_球对称的引力场20注意：而前面论证过（见教材3.4节，差一负号），在牛顿近似下有其中M为中心质量。通过比较，看到利用上式，（5.2.17）式变为（5.2.18）式称为史瓦西（Schwarzshild）解。（5.2.18）必须记住：质量M是系统的总质量；引力质量贡献的质量-能量也包括在M之中。显然，除非M是系统的总能量，等效原理（MI=MG）就不能满足。5.3伯克霍夫定理2010-7-18广义相对论_球对称的引力场21我们在上一节对Schwarzschild解的推导，开始于度规是球对称的和静态的假设。后一个假设实际上是不需要的，因为它暗含在前一个假设之中----可以证明，Einsten方程的任何球对称真空解必定是静态的，而且必须与Schwarschild解一致*。这就是Birkhoff定理。作为这一定理的一个结果，球对称质量分布在其周围区域产生的场总是静态Schwarzschild场，无论该质量是静态的、坍缩的、膨胀的或者脉动的。（这一表述暗含着一个假定，即质量分布中没有净电荷；如果有净电荷，则周围空间将存在电场，而且真空条件将被违反。放弃静态假设，我们必须使用度规形式*当然，可以把任何解的形式通过坐标变换加以改变。因此，如果两个解只差一个坐标变换，则它们将被认为是一致的；这样的解在物理上式完全相同的。（5.1.5）2010-7-18广义相对论_球对称的引力场22度规（5.1.5）式相应的曲率张量的计算，只比度规（5.1.6）式相应的计算稍稍复杂一些。结果得到的Einstein方程如下（撇号和点号分别表示对r和t的导数）：（5.3.1）（5.3.2）（5.3.3）（5.3.4）（5.3.5）（5.3.6）方程（5.3.5）和（5.3.6）意味着，故是与时间无关的。2010-7-18广义相对论_球对称的引力场23如果把代入到方程（5.3.1）---（5.3.4），这些方程就与（5.2.7）---（5.2.10）相等。因而，方程的解就可以用与前面完全相同的方式来求出，我们得到【见（5.2.11）---（5.2.13）】（5.3.7）上面这个微分方程的解为（5.3.8）其中是一个时间的任意函数。利用（5.2.12）式给出的，以及因此求得（5.3.9）2010-7-18广义相对论_球对称的引力场24此式与Schwarzschild解的区别只是在于第一项中的因子。这个与时间有关的因子，可以用一个时间坐标的进一步变换消去。如果用一个新的坐标t’使得则（5.3.9）式就与（5.2.17）式相同。我们的球对称解（5.3.9）式因此与Schwarzschild解一致。Birkhoff定理的意义：Schwarzschild解描述的是球对称源的外引力场，但这个源不必是静止的。因此，当观测到一个Schwarzschild引力场，我们无法判明它的源是一个稳定的，还是一个膨胀、收缩、振荡的。作为该定理的一个推论，一个球对称质量分布在其中心的球形空腔中不产生引力场。【这一结论在Newton理论中是当然成立的：利用势函数的唯一性定理可以证明，一个均匀的球壳在其内部所产生的势是常数。】在Einstein理论中，Birkhoff定理保证了空腔内部的解必定是（5.2.17）式给出的Schwarzschild解。因为一个空腔不能含有任何奇点，我们必须取C=0，因此在空腔内部时空是平直的。