历年考研数学概率统计部分试题分析和详解

历年考研数学概率统计部分试题分析和详解12007200720072007年(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0p1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A)．(B).23(1)pp−2)1(6pp−−−−(C)．(D)．【】22)1(3pp−−−−22)1(6pp−−−−【答案】应选(C).【详解】“第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标,前3次射击中有1次命中目标.由独立重复性知所求概率为：.故选(C).2213)1(ppC−−−−(10)设随机变量(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，分别表示Ｘ，Ｙ)()(yfxfYX的概率密度，则在Ｙ＝y的条件下，Ｘ的密度为)|(|yxfYX(A)．(B)．(C).(D)．【】)(xfX)(yfY)()(yfxfYX)()(yfxfYX【答案】应选(A).【详解】因(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，故Ｘ与Ｙ相互独立，于是=.因此选(A).)|(|yxfYX)(xfX【评注】对于二维连续型随机变量(Ｘ,Ｙ)，有Ｘ与Ｙ相互独立⇔f(x,y)=⇔=⇔=.)()(yfxfXX)|(|yxfYX)(xfX)|(|xyfXY)(yfY(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则两数之差的绝对值小于的概率为____________．21【答案】应填.43【详解】这是一个几何概型,设x,y为所取的两个数,则样本空间,记.}1,0|),{(====yxyxΩ}21||,),(|),{(−−−−∈∈∈∈====yxyxyxAΩ故，其中分别表示A与Ω的面积.ΩSSAPA====)(43143========ΩSSA,(23)(本题满分11分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为2,01,01,(,)0,xyxyfxy−−⎧=⎨⎩其它.历年考研数学概率统计部分试题分析和详解2(I)求；{{{{}}}}YXP2(II)求Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度.)(zfZ【详解】(I).{{{{}}}}YXP2∫∫∫∫∫∫∫∫====yxdxdyyxf2),(∫∫∫∫∫∫∫∫−−−−−−−−====12210)2(ydxyxdy247====(II)方法一：先求Z的分布函数:∫∫∫∫∫∫∫∫≤≤≤≤++++====≤≤≤≤++++====zyxZdxdyyxfZYXPzF),()()(当z0时,;0)(====zFZ当时,10≤≤≤≤z∫∫∫∫∫∫∫∫====1),()(DZdxdyyxfzF∫∫∫∫∫∫∫∫−−−−−−−−−−−−====yzzdxyxdy00)2(；3231zz−−−−====当时,21≤≤≤≤z∫∫∫∫∫∫∫∫−−−−====2),(1)(DZdxdyyxfzF∫∫∫∫∫∫∫∫−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−====111)2(1yzzdxyxdy；3)2(311z−−−−−−−−====当时,.2≥≥≥≥z1)(====zFZ故Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度=)(zfZ)(zFZ′′′′⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧≤≤≤≤−−−−−−−−====.,0,21,)2(,10,222其他zzzzz方法二：，∫∫∫∫∞∞∞∞++++∞∞∞∞−−−−−−−−====dxxzxfzfZ),()(⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧−−−−−−−−−−−−−−−−====−−−−.,0,10,10),(2),(其他xzxxzxxzxf⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧++++−−−−====.,0,10,10,2其他xzxz当z≤0或z≥2时,;0)(====zfZ当时,；01z∫∫∫∫−−−−====zZdxzzf0)2()()2(zz−−−−====当时,；21≤≤≤≤z∫∫∫∫−−−−−−−−====11)2()(zZdxzzf2)2(z−−−−====故Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度历年考研数学概率统计部分试题分析和详解3)(zfZ⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧≤≤≤≤−−−−−−−−====.,0,21,)2(,10,222其他zzzzz(24)(数1,3)(本题满分11分)设总体X的概率密度为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧≤≤≤≤−−−−====.,0,1,)1(21,0,21),(其它xxxfθθθθθ其中参数(01)未知,是来自总体X的简单随机样本,是样本均值θθnXXX⋯21,X(I)求参数的矩估计量；θθˆ(II)判断是否为的无偏估计量,并说明理由.24X2θ【详解】(I)dxxxfXE),()(θ∫∫∫∫∞∞∞∞++++∞∞∞∞−−−−====dxxdxx∫∫∫∫∫∫∫∫−−−−++++====10)1(22θθθθ.412)1(414++++====++++++++====θθθ令,其中，X====++++412θ∑∑∑∑========niiXnX11解方程得的矩估计量为:=.θθˆ212−−−−X(II),)]()([4)(4)4(222XEXDXEXE++++========)]()([42XEnXD++++====而dxxfxXE),()(22θ∫∫∫∫∞∞∞∞++++∞∞∞∞−−−−====dxxdxx∫∫∫∫∫∫∫∫−−−−++++====1202)1(22θθθθ.616132++++++++====θθ)()()(22XEXEXD−−−−====22)4121(61613++++−−−−++++++++====θθθ，4851211212++++−−−−====θθ故,)4(2XE)]()([42XEnXD++++====nnnnnn1253133132++++++++−−−−++++++++====θθ2θ≠≠≠≠历年考研数学概率统计部分试题分析和详解4所以不是的无偏估计量.24X2θ(24)(本题满分11分)设随机变量X与Y独立分布,且X的概率分布为313221PX　　　　　　　　　　　　　　　记.{{{{}}}}{{{{}}}}YXVYXU,min,,max========(I)求(U,V)的概率分布;(II)求(U,V)的协方差Cov(U,V).【详解】(I)易知U,V的可能取值均为:1,2.且{{{{}}}}{{{{}}}}})1,min,1,(max)1,1(====================YXYXPVUP,)1,1(============YXP94)1()1(================YPXP,{{{{}}}}{{{{}}}}0})2,min,1,(max)2,1(========================YXYXPVUP{{{{}}}}{{{{}}}}})1,min,2,(max)1,2(====================YXYXPVUP)2,1()1,2(========++++============YXPYXP,)2()1()1()2(========++++============YPXPYPXP94===={{{{}}}}{{{{}}}}})2,min,2,(max)2,2(====================YXYXPVUP,)2()2()2,2(========================YPXPYXP91====故(U,V)的概率分布为:(II),9122941209411)(××××××××++++××××××××++++++++××××××××====UVE916====而,.914952941)(====××××++++××××====UE910912981)(====××××++++××××====VE故.814910914916)()()(),(====××××−−−−====−−−−====VEUEUVEVUCovVU12120949491历年考研数学概率统计部分试题分析和详解52006200620062006年一、设随机变量与相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则XY=。{}max{,}1PXY≤91二、设为随机事件，且，则必有,AB()0,(|)1PBPAB=（A）（B）()().PABPA∪()().PABPB∪（C）（D）【C】()().PABPA∪=()().PABPB∪=三、设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且X211(,)NµσY222(,)Nµσ12{||1}{||1},PXPYµµ−−（A）（B）12.σσ12.σσ（C）（D）【A】12.µµ12.µµ四、随机变量x的概率密度为为二维随机变量()()21,1021,02,,40,xxfxxyxFxy⎧−⎪⎪⎪=≤=⎨⎪⎪⎪⎩令其他(X,Y)的分布函数.(Ⅰ)求Y的概率密度()Yfy(Ⅱ)1,42F⎛⎞−⎜⎟⎝⎠解：（Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤=≤=≤=yyyyyXPyYPyFY4,141,)2(10,)1(0,0)()()(2式式；∫∫=+=≤≤−=−yyydxdxyXyP00434121)()1(式历年考研数学概率统计部分试题分析和详解6。∫∫+=+=≤≤−=−yydxdxyXyP00141214121)()2(式所以：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤==其他,041,8110,83)()('yyyyyFyfYY这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y进行适当的讨论即可，在新东方的辅导班里我也经常讲到，是基本题型。（Ⅱ）)4,21(−F)212()22,21()4,21()4,21(2−≤≤−=≤≤−−≤=≤−≤=≤−≤=XPXXPXXPYXP。4121211==∫−−dx五、设总体X的概率密度为,()()01,0112010xFXxθθθθ⎧⎪=−≤⎨⎪⎩其中是未知参数其它为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值,求12n,...,XXX12,...,1nxxx中小于的个数的最大似然估计.θ解：对样本按照1或者≥1进行分类：1，nxxx⋯,,21pNppxxx⋯,,21≥1。pnpNpNxxx⋯,,21++似然函数，⎩⎨⎧≥−=++−其他，,01,,,1,,)1()(2121pnpNpNpNppNnNxxxxxxL⋯⋯θθθ在1，≥1时，pNppxxx⋯,,21pnpNpNxxx⋯,,21++，)1ln()(ln)(lnθθθ−−+=NnNL，所以。01)(ln=−−−=θθθθNnNdLdnN=最大θ历年考研数学概率统计部分试题分析和详解72005200520052005年一、从1，2，3，4中任取一个数，记为，再从中任取一个数，记为，则X1,,X…Y。{2}PY==1348【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】=+}2{=YP}12{}1{===XYPXP}22{}2{===XYPXP++}32{}3{===XYPXP}42{}4{===XYPXP=.4813)4131210(41=+++×【评注】全概率公式综合考查了加法公式、乘法公式和条件概率，这类题型一直都是考查的重点.二、设二维随机变量的概率分布为(,)XY已知随机事件与相互独立，则{0}X={1}XY+=（A）.（B）.0.2,0.3ab==0.4,0.1ab==（C）.（D）【B】0.3,0.2ab==0.1,0.4ab==【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.【详解】由题设，知a+b=0.5又事件与相互独立，于是有}0{=X}1{=+YX，}1{}0{}1,0{=+===+=YXPXPYXXP即a=,由此可解得a=0.4,b=0.1,故应选(B).))(4.0(baa++【评注】本题考查二维随机变量分布