第六章测量误差基础知识

1《测量学》崔旭忠鲁东大学土木工程学院2第六章测量误差基本知识3§6-1观测误差及其分类观测误差的来源（或产生的原因）1、仪器精度的局限性2、观测者感官的局限性3、外界环境的影响4一.产生测量误差的原因产生测量误差的三大因素：仪器原因仪器精度的局限,轴系残余误差,等。人的原因判断力和分辨率的限制,经验,等。外界影响气象因素(温度变化,风,大气折光)结论：观测误差不可避免(粗差除外)有关名词：观测条件:上述三大因素总称为观测条件等精度观测:在上述条件基本相同的情况下进行的各次观测，称为等精度观测。5测量误差的分类与对策（一）分类系统误差——在相同的观测条件下，误差出现在符号和数值相同，或按一定的规律变化。例：误差钢尺尺长误差Dk钢尺温度误差Dt水准仪视准轴误差i经纬仪视准轴误差C……处理方法计算改正计算改正操作时抵消(前后视等距)操作时抵消(盘左盘右取平均)……6系统误差的特性和消除方法1.特性:统一性误差的绝对值保持恒定或有一定规律单向性误差的符号不变，总朝一个方向偏离累积性误差的绝对值随观测值的大小成比例累积2.消除方法：检校仪器把系统误差降到最低限度求改正数对某些误差应求其大小，将观测值加以改正，消除其影响。对称观测采出合理的观测方法，使误差执行消除或减少7测量误差的分类与对策（一）分类偶然误差——在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差有“统计规律”粗差——特别大的误差（错误）例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。8（二）处理原则粗差——细心，多余观测系统误差——找出规律，加以改正偶然误差——多余观测，制定限差9§6-2偶然误差的统计特性1.偶然误差的定义：设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，得n个观测值，则产生了n个真误差：nlll,,,2112,,,niilX(6-1)真误差真值观测值10例如：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差i为i=180–(i+i+i)其结果如表6-1，图6-1,分析三角形内角和的误差i的规律。11误差区间负误差正误差误差绝对值dΔKK/nKK/nKK/n0~3450.126460.128910.2543~6400.112410.115810.2266~9330.092330.092660.1849~12230.064210.059440.12312~15170.047160.045330.09215~18130.036130.036260.07318~2160.01750.014110.03121~2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810.5051770.4953581.000表6-1偶然误差的统计12-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=k/d有限性：偶然误差应小于限值。渐降性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。13偶然误差的特性有限性：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。渐降性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。22()21()2fe14偶然误差的削弱方法1.适当提高仪器等级；2.多余观察：评定精度和分配闭合差；3.求最可靠值或者最或是值。15偶然误差的特性和消除方法1.特性:有界性在相同的观测条件下，其绝对值不超过一定界限。单峰性绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的频率大。对称性绝对值相等的正、负误差出现的频率相等。补偿性观测次数无限增多其算术平均值趋近于零。2.消弱方法：适当提高仪器等级多余观测求最可靠值16§6-3评定精度的标准所谓精度：就是指误差分布的密集或离散程度。衡量精度的指标有多种，常用的有以下几种一、中误差：误差的概率分布函数即正态分布曲线方程而σ就是标准差（均方差）即而我们测量上就叫中误差（条件是：观测次数是有限的，由有限个观测值的真误差只能求得标准差的估值。）所以中误差的公式为：这是由真误差计算的中误差公式。另外：这就是用改正数求中误差的白塞尔公式。2221()2xfxelimxnmn1VVmn17一、中误差正态分布曲线方程用真误差计算中误差的公式。，XlXliii为观测值的真值为观测值真误差：标准差公式：为观测值的个数nnn][limnnmn][22221中误差公式为：2221()2xfxe18[]iiilVlxln当观测值的真值未知时：设某未知量的观测值为：nlll,,,21nlnlllxn][21则该量的算术平均值为：则该量的改正数：用改正数计算中误差的公式1][nVVm计算得：观测值的中误差[](1)VVMnn算术平均值的中误差19二、容许误差由偶然误差的第一特性知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会越过一定的限值。大量同精度观测的一组误差中，误差落在(-σ，+σ)、(-2σ，+2σ）、(-3σ，+3σ)的概率分别为可见绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现的概率仅为0.3％、概率接近于0，因此通常以三倍中误差作为偶然误差的极限值Δ限，并称为极限误差或容许误差。实践中．也常用2m作为容许误差。即2=3mm容容或20三、相对误差误差的绝对值与观测值之比称为相对误差。通常将分子化为1的形式。相对误差是个无名数，有相对中误差、相对容许误差、相对真误差。所谓相对中误差(简称相对误差)就是中误差之绝对值（设为|m|）与观测值（设为D）之比，并将分子化为1表示：用绝对误差无法比较不同测量结果的可靠程度，于是人们用测量值的绝对误差与测量值之比来评价，并称它为相对误差，用表示，并可化成百分比，也叫百分误差。绝对误差=测量值-真实值相对误差=绝对误差/真实值相对误差不能用于评定角度测量的精度．因为角度误差与测角大小无关。21§6-4误差传播定律及其应用已知：mx1,mx2,……mxn求：my=？...),(21xxfy设有函数式：　nmyyy][y=?22观测值函数的中误差——误差传播定律一.观测值的函数例：高差121()sinsincosnhabSsssnDMdabxD平均平均距离实地距离三角边和或差函数线性函数倍数函数一般函数坐标增量一般函数……23二、几种常用函数的中误差（一）和(差)函数yxz已知：mx,my,求：mz=?nmzzz][)()(yyxxzzzxy24二、几种常用函数的中误差（一）和(差)函数yxz已知：mx,my,求：mz=?yxz111yxz222yxznnnyxz2222yyxxz211121212yyxxz222222222yyxxz2222nnnnnyyxxz和][][2][][222yyxxz25二、几种常用函数的中误差（一）和（差）函数yxz已知：mx,my,求：mz=?yxz2222yyxxz和][][2][][222yyxxznynyxnxnz][][2][][2222zm2xm2ym?0222yxzmmm26二、几种常用函数的中误差（一）和(差)函数yxz已知：mx,my,求：mz=?222yxzmmmyxz27二、几种常用函数的中误差（二）倍乘函数kxz已知：mx,求：mz=?nmzzz][xkz11xkz22xkz22xkz21221xkz22222xkz222nnxkz和平方][][222xkz28二、几种常用函数的中误差（二）倍乘函数kxz已知：mx,求：mz=?nmzzz][xkz][][222xkznxknz][][222222xzmkmxzmkm29m2.0m5.168m2.0mm2002.0100010001000222SmmmmlSlS即lS1000解：例量得地形图上两点间长度=168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：l1000:1列函数式中误差式30二、几种常用函数的中误差（三）线性函数nnxkxkxkz2211已知：mxi,求：mz=?222xymkmiiixky:令nyyyz21222212nyyyzmmmm22222221212nxnxxzmkmkmkm31（三）线性函数nnxkxkxkz221122222221212nxnxxzmkmkmkm特殊nlllxn21mmmmn21222222122111nxmnmnmnm21mnnmmx32例6距离误差例：对某距离用精密量距方法丈量六次，求①该距离的算术平均值；②观测值的中误差；③算术平均值的中误差；④算术平均值的相对中误差：xxmMxM/凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。33二.误差传播定律(四)一般函数的中误差公式——误差传播定律设有函数),,(21nxxxfZxi为独立观测值对上式全微分1212nnfffdzdxdxdxxxx1122nnfdxfdxfdx12222222221nzxxnxmfmfmfm222222212212nxxxzmxfmxfmxfm34中误差关系式：小结第一步：写出函数式第二步：对各观测值取偏导数第三步：套用误差传播定律，写出中误差式。22222221122...ynnmfmfmfm35观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总函数式函数的中误差一般函数倍数函数和差函数线性函数算术平均值),,,(21nxxxFZ2222222121nnZmxFmxFmxFmxxZKmmKmKxZ22nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkmnnnnnllllx12111nmmX36例已知某矩形长a=500米，宽b=400米,ma=mb=0.02cm，求矩形的面积中误差mp。三、几种常用函数的中误差求观测值函数中误差的步骤：(1)列出函数式；(2)对函数式线性化(全微分)；(3)套用误差传播定律，写出中误差式。abPadbbdadP2222bapmambm22)02.0500()02.0400(2228.12108m37思考与作业1.偶然议差和系统误差有什么区别?偶然误差具有哪些特性?2.何谓中误差、容许误差、相对误差?3.某水平角以等精度观测4个测回，观测值分别为55°40′47″、55°40′40″、55°40′42″、55°40′46″．试求观测值的一测回的中误差、算术平均值x及其中误差。2xm38观测值：斜距S和竖直角v待定值：水平距离D22222222222coscossincossincosDSvDSvDSvdDvdsSvdvmvmSvmmvmhm一，二，三，或，§6-4误差传布定律应用举例39观测值：斜距S和竖直角v待定值：高差h22222222222sinsincossincossinhSvhSvhSvdhvdsSvdvmvm