第九章 非线性时间序列模型

上海财经大学统计学系1非线性时间序列模型•一般非线性时间序列模型介绍•条件异方差模型上海财经大学统计学系2§9.1一般非线性时间序列模型介绍•参数非线性时间序列模型•非参数时间序列模型上海财经大学统计学系3参数非线性时间序列模型•SETAR(Self-excitingthresholdautoregressivemodel)模型•拟线性自回归模型•指数自回归模型•双线性模型上海财经大学统计学系4SETAR(Self-excitingthresholdautoregressivemodel)模型当分割为其中为某个整数，称此模型为Self-excitingThresholdAutoregressiveModel，其形式为(9.6)其中整数d称为滞后参数，称为门限参数，模型(9.6）记为模型j1pjdj1Rx,,x:rxr,j1,,lpdljpltjktkjtdj1tj1k1xxIrxr121llrrrrlrr,,2lpplSETAR,,;1上海财经大学统计学系5考虑一个简单的模型r分别取四个数值，我们对每个模型分别产生样本长度是500的序列。当时，TAR模型退化成线性AR(1)过程。其他三种情况，显示了明显的非线性特征。1,1;2SETARt1tt1tt2tt1-0.7x,xrx0.7x,xr2tN(0,0.5)1050,,.,r上海财经大学统计学系6拟线性自回归模型拟线性自回归模型为其中是s个已知的到的可测函数，是白噪声序列，。t011t1tpsst1tptxfx,,xfx,,x),,1(sifipR1Rt),,1(sii上海财经大学统计学系7指数自回归模型指数自回归模型为(9.17)其中是白噪声序列，和为未知参数，正整数为模型的阶数，模型(9.17)记为EAR(p)。2t1pxt000k1ktktk1xext),,1(,,1000pkkk0p上海财经大学统计学系8双线性模型•双线性模型由Granger和Anderson（1978）提出，并得到进一步研究和发展，SubbaRao和Gabr（1984）讨论了这个模型的一些性质和应用，Liu和Brockwell（1988）推广到一般的双线性模型•双线性模型形式其中p，q，Q和P是非负整数，是白噪声序列。返回pqQPtjtjktkiltltij1k0i1l1xxxt上海财经大学统计学系9非参数时间序列模型•非参数自回归模型的一般形式为(9.22)其中是到的可测函数，是白噪声序列。模型(9.22)有如下两种特殊形式。•（1）可加非线性自回归模型（2）函数系数自回归模型tt1tptxx,,xpR1Rt上海财经大学统计学系10可加非线性自回归模型可加非线性自回归模型为其中c为常数，为p个一元非参数型的未知函数，是白噪声序列，模型记为ANLAR(p)，p为模型的阶数。t1t1ptptxcfxfxif(i1,,p)t上海财经大学统计学系11函数系数自回归模型函数系数自回归模型为其中c为常数，为p个一元非参数型的未知函数，为整数，称为滞后参数，是白噪声序列，模型记为FCAR(p)，p为模型的阶数。返回t1tdt1ptdtptxcfxxfxxif(i1,,p)0dpt上海财经大学统计学系12§9.2条件异方差模型•ARCH模型•GARCH模型•模型推广形式上海财经大学统计学系13ARCH模型的定义ARCH(q)模型定义如下：若随机过程的平方服从AR(q)过程，即其中独立同分布，且有，；，()，则称服从q阶的ARCH过程，记作ARCH(q)。tttyx1,2,,tTt2t222201122tttqtqtt()0tE2()tD000i1,2,,iqtt上海财经大学统计学系14•定理9.1对于ARCH(1)模型，存在的充要条件是•定理9.2ARCH(q)二阶平稳的充要条件是相应的特征方程的所有根都大于1，此时平稳序列的无条件方差为11(21)1rrjj201()1qtjjEt2()rtE上海财经大学统计学系15ARCH模型的极大似然估计•的对数似然函数为•对数似然函数关于参数的一阶偏导数为•参数向量的极大似然估计为方程的解。11()log(,;)TttttLfyxY11()log(,;)TttttLfyxY1log(2)()2TttTlTtxyttt,,2,1,1()()()()tTtttllLlˆ()0L上海财经大学统计学系16ARCH模型的假设检验•原假设和备择假设分别为•检验统计量为•在成立时，统计量有极限分布。012:...0qH1:0iH1ˆˆ()()ˆ()()LLTI122000022111001ˆˆˆˆ1()()()1()2TTTttttttttteezzzz0H2()q上海财经大学统计学系17ARCH模型的特点•模型中将条件方差表达成过去扰动项的回归函数形式，形式恰能反映金融市场波动集聚性特点，即较大幅度的波动后面紧接着较大幅度波动，较小幅度的波动后面紧接着较小幅度的波动。•ARCH模型的随机误差项服从宽尾的无条件分布，这恰好能描述金融市场上资产收益率变量是宽尾分布的特征。•利用ARCH模型可以更精确地估计参数，提高预测精度。•ARCH模型的特征改善了计量经济模型的预测能力•ARCH模型中随机误差是条件分布，从Bayes统计决策理论上看，可以在经济预测和决策中引入Bayes方法进行估计和风险决策。2ttt上海财经大学统计学系18例9.2Engle(1982)利用ARCH模型来刻画1958年第二季度到1977年第二季度期间英国通货膨胀率中存在的条件异方差性。用表示英国消费者物价指数的对数，用表示名义工资率指数的对数，于是通货膨胀为，实际工资为。最终建立了如下模型这个模型的实质是，前一期的实际工资的增长造成了当期通货膨胀的增长，通货膨胀率在和期的滞后值是用来反映季节因素的。返回tptwttt1pptttrwptt1t4t5t1t0.02570.3340.4080.4040.0559rtt1t4t5t1t0.02570.3340.4080.4040.0559rt4t5上海财经大学统计学系19GARCH模型的定义•由其中，定义的ARCH过程称为GARCH过程，记为GARCH(p,q)。•GARCH(p,q)模型的一般形式为其中，，，，；为滞后算子多项式且。222220011()()qptttitiitiiiBB012(1)pttttttt222220011()()qptttitiitiiiBB0p0q000(12...)iiq，，，0(12...)iiq，，，0(12...)iip，，，()B212()...ppBBBB上海财经大学统计学系20GARCH模型的极大似然估计•GARCH(p,q)模型的对数似然函数为•对关于和分别求一阶偏导数222111111()()log(2)log()222TTTtttttttTLl()L*22221*2*11()11()2TTtttttttttLx222121()1(1)()2TtttttL上海财经大学统计学系21GARCH模型的假设检验•原假设是ARCH过程，备择假设是GARCH过程，即•检验统计量其中0H1H01:0,pH1:0jH1jp00001001()2fZZZZf22012211,,1TTeef2202211,,TTZ上海财经大学统计学系22GARCH模型的特点•远远减少了待估参数的个数•残差的符号对波动没有影响返回上海财经大学统计学系23模型推广形式•EGARCH模型•TARCH模型•(G)ARCH-M模型•IGARCH模型