离散数学屈婉玲版课后习题

1第一章部分课后习题参考答案2345616设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。（1）p∨(q∧r)0∨(0∧1)0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s)（0↔1）∧(1∨1)0∧10.（3）（p∧q∧r）↔(p∧q∧﹁r)（1∧1∧1）↔(0∧0∧0)07(4)（r∧s）→(p∧q)（0∧1）→(1∧0)0→0117．判断下面一段论述是否为真：“是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。”答：p:是无理数1q:3是无理数0r:2是无理数1s:6能被2整除1t:6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q)→(q→p)（5）(p∧r)(p∧q)（6）((p→q)∧(q→r))→(p→r)答：（4）pqp→qqpq→p(p→q)→(q→p)0011111011011110010011110011所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案83.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1)(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r1所以公式类型为永真式(3)Pqrp∨qp∧r（p∨q）→(p∧r)000001001001010100011100100100101111110100111111所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：9(2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r))(4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q)∧(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)(p∨q)∧(p∨r)p∨(q∧r))p→(q∧r)（4）(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q))∧(q∨(p∧q)(p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p)∧(q∨q)1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1(p∨q)∧(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(p→q)→(q∨p)(2)(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(p→q)→(qp)(pq)(qp)(pq)(qp)(pq)(qp)(qp)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)320mmm∑(0,2,3)主合取范式：(p→q)→(qp)(pq)(qp)(pq)(qp)10(p(qp))(q(qp))1(pq)(pq)M1∏(1)(2)主合取范式为：(p→q)qr(pq)qr(pq)qr0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为0(3)主合取范式为：(p(qr))→(pqr)(p(qr))→(pqr)(p(qr))(pqr)(p(pqr))((qr))(pqr))111所以该式为永真式.永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)11121314151617第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：18(2)前提：pq,(qr),r结论：p(4)前提：qp,qs,st,tr结论：pq证明：（2）①(qr)前提引入②qr①置换③qr②蕴含等值式④r前提引入⑤q③④拒取式⑥pq前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①tr前提引入②t①化简律③qs前提引入④st前提引入⑤qt③④等价三段论⑥（qt）(tq)⑤置换⑦（qt）⑥化简⑧q②⑥假言推理⑨qp前提引入⑩p⑧⑨假言推理(11)pq⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p(qr),sp,q结论：sr证明①s附加前提引入②sp前提引入③p①②假言推理19④p(qr)前提引入⑤qr③④假言推理⑥q前提引入⑦r⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：pq,rq,rs结论：p证明：①p结论的否定引入②p﹁q前提引入③﹁q①②假言推理④￢rq前提引入⑤￢r④化简律⑥r￢s前提引入⑦r⑥化简律⑧r﹁r⑤⑦合取由于最后一步r﹁r是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1)对于任意x,均有错误!未找到引用源。2=(x+错误!未找到引用源。)(x错误!未找到引用源。).(2)存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x):错误!未找到引用源。2=(x+错误!未找到引用源。)(x错误!未找到引用源。).G(x):x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(xxF，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。(2)在两个个体域中都解释为)(xxG，在（a）(b)中均为真命题。4.在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1)没有不能表示成分数的有理数.(2)在北京卖菜的人不全是外地人.解:(1)F(x):x能表示成分数H(x):x是有理数20命题符号化为:))()((xHxFx(2)F(x):x是北京卖菜的人H(x):x是外地人命题符号化为:))()((xHxFx5.在一阶逻辑将下列命题符号化:(1)火车都比轮船快.(3)不存在比所有火车都快的汽车.解:(1)F(x):x是火车;G(x):x是轮船;H(x,y):x比y快命题符号化为:)),())()(((yxHyGxFyx(2)(1)F(x):x是火车;G(x):x是汽车;H(x,y):x比y快命题符号化为:))),()(()((yxHxFxyGy9.给定解释I如下:(a)个体域D为实数集合R.(b)D中特定元素错误!未找到引用源。=0.(c)特定函数错误!未找到引用源。(x,y)=x错误!未找到引用源。y,x,yD错误!未找到引用源。.(d)特定谓词错误!未找到引用源。(x,y):x=y,错误!未找到引用源。(x,y):xy,x,yD.说明下列公式在I下的含义,并指出各公式的真值:(1))),(),((yxFyxGyx(2))),()),,(((yxGayxfFyx答:(1)对于任意两个实数x,y,如果xy,那么xy.真值1.(2)对于任意两个实数x,y,如果x-y=0,那么xy.真值0.10.给定解释I如下：（a）个体域D=N(N为自然数集合).（b）D中特定元素错误!未找到引用源。=2.（c）D上函数错误!未找到引用源。=x+y,错误!未找到引用源。(x,y)=xy.（d）D上谓词错误!未找到引用源。(x,y):x=y.说明下列各式在I下的含义，并讨论其真值.(1)错误!未找到引用源。xF(g(x,a),x)(2)错误!未找到引用源。x错误!未找到引用源。y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)答:(1)对于任意自然数x,都有2x=x,真值0.(2)对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y,那么y+2=x.真值0.2111.判断下列各式的类型:(1)错误!未找到引用源。(3)错误!未找到引用源。yF(x,y).解:(1)因为1)()(pqppqp为永真式；所以错误!未找到引用源。为永真式；(3)取解释I个体域为全体实数F(x,y)：x+y=5所以,前件为任意实数x存在实数y使x+y=5，前件真；后件为存在实数x对任意实数y都有x+y=5，后件假，]此时为假命题再取解释I个体域为自然数N，F(x,y)：:x+y=5所以,前件为任意自然数x存在自然数y使x+y=5，前件假。此时为假命题。//错误的吧此公式为非永真式的可满足式。13.给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。(1)错误!未找到引用源。(F(x)错误!未找到引用源。(2)错误!未找到引用源。x(F(x)错误!未找到引用源。G(x)错误!未找到引用源。H(x))解:(1)个体域:本班同学F(x)：x会吃饭,G(x)：x会睡觉.成真解释F(x)：x是泰安人,G(x)：x是济南人.（2）成假解释(2)个体域:泰山学院的学生F(x)：x出生在山东,G(x):x出生在北京,H(x):x出生在江苏,成假解释.F(x)：x会吃饭,G(x)：x会睡觉,H(x)：x会呼吸.成真解释.第六章部分课后习题参考答案5.确定下列命题是否为真：（1）真（2）假（3）}{真（4）}{真（5）｛a,b｝｛a,b,c,｛a,b,c｝｝真（6）｛a,b｝｛a,b,c,｛a,b｝｝真（7）｛a,b｝｛a,b,｛｛a,b｝｝｝真（8）｛a,b｝｛a,b,｛｛a,b｝｝｝假226．设a,b,c各不相同，判断下述等式中哪个等式为真:（1）｛｛a,b｝，c,｝=｛｛a,b｝,c｝假（2）｛a,b,a｝=｛a,b｝真（3）｛｛a｝，{b}｝=｛｛a,b｝｝假（4）｛，｛｝，a,b｝=｛｛,｛｝｝,a,b｝假8．求下列集合的幂集：（1）｛a,b,c｝P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}（2）｛1，｛2，3｝｝P(A)={,{1},{{2,3}},{1，{2，3}}}（3）｛｝P(A)={,｛｝}（4）｛，｛｝｝P(A)={,{1},{{2,3}},{1，{2，3}}}14．化简下列集合表达式：（1）（AB）B）-（AB）（2）（（ABC）-（BC））A解:(1)（AB）B）-（AB）=（AB）B）～（AB）=（AB）～（AB）)B=B=（2）（（ABC）-（BC））A=（（ABC）～（BC））A=（A～（BC））（（BC）～（BC））A=（A～（BC））A=（A～（BC））A=A18．某班有25个学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。已知6个会打网球的人都会打篮球或排球。求不会打球的人数。解:阿A={会打篮球的人}，B={会打排球的人}，C={会打网球的人}|A|=14,|B|=12,|AB|=6,|AC|=5,|ABC|=2,|C|=6,CAB如图所示。25-(5+4+2+3)-5-1=25-14-5-1=5不会打球的人共5人21.设集合A＝{{1，2}，{2，3}，{1，3},{}},计算下列表达式：（1）A（2）A（3）A（4）A23解:（1）A={1，2}{2，3}{1，3}{}={1，2，3,}（2）A={1，2}{2，3}{1，3}{}=（3）A=123=（4）A=27、设A,B,C是任意集合，证明(1)(A-B)-C=A-BC(2)(A-B)-C=(A-C)-(B-C)证明(1)(A-B)-C=(A～B)～C=A(～B～C)=A～(BC)=A-BC(2)(A-C)-(B-C)=(A～C)～(B～C)=(A～C)(～BC)=(A～C～B)(A～CC)=(A～C～B)=A～(BC)=A-BC由（1）得证。第七章部分课后习题参考答案7.列出集合A={2,3,4}上的恒等关系IA,全域关系EA,小于或等于关系LA,