4.3 利用导数来研究函数的极值或最值

考纲要求1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次．3．求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次．知识梳理1．函数的极值⑴判断函数极值的方法①如果在0x附近的左侧()0fx，右侧()0fx，那么)(0xf是．②如果在0x附近的左侧()0fx，右侧()0fx，那么)(0xf是．⑵求可导函数极值的步骤:①求导数()fx．②求导数()0fx的根．③列表，判断()fx在方程的根的左右值的符号，确定)(xf在这个根处是取极大值还是取极小值．极大值极小值2．函数的最值求函数)(xf在[,]ab上的最大值与最小值的步骤：①求出)(xf在(,)ab内的极值．②再将)(xf的各极值与)(af、)(bf比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．函数()lnfxaxx在1x处取到极值，则a的值为（）A．12B．1C．0D．12基础自测【答案】B【解析】()1afxx，由(1)0f，得1a．2．设函数2()lnfxxx，则（）A．12x为()fx的极大值点B．12x为()fx的极小值点C．2x为()fx的极大值点D．2x为()fx的极小值点【答案】D【解析】∵221()fxxx，令()0fx，则2x，当02x时，()0fx，当2x时，()0fx，∴2x为()fx的极小值点，故选D．3．函数xyxe的最小值是（）A．1B．eC．1eD．不存在【答案】C【解析】∵(1)xyxe，∴(,1)x，0y；(1,)x，0y．∴函数xyxe在1x处取得极小值，∴函数xyxe的最小值为1e．4．函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图，则函数)(xf在开区间),(ba内有极值点的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【例1】（2013全国高考）已知函数2()()4xfxeaxbxx，曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程为44yx.（1）求,ab的值；（2）讨论()fx的单调性，并求()fx的极大值.考点1利用导数研究极值典例剖析【解析】（1）∵()()24xfxeaxabx，∵(0)4f，(0)4f，∴4,8bab，∴4a，4b.（2）由（1）知2()4(1)4xfxexxx，∴1()4(2)244(2)()2xxfxexxxe，令()0fx，解得2x或ln2x.当(,2)(ln2,)x时，()0fx；当(2,ln2)x时，()0fx；∴()fx在(,2)，(ln2,)上单调递增，在(2,ln2)上单调递减，∴2x时，函数()fx取得极大值，极大值为2()4(1)fxe.【变式】（2013湖北高考）已知函数()(ln)fxxxax有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．(,0)B．1(0,)2C．(0,1)D．(0,)【答案】B【解析】∵()(ln)fxxxax有两个极值点，∴()ln120fxxax有两个不同的解，∴lnyx和21yax的图象有两个不同的交点，当12a时，两函数的图象没有交点，当12a时，两函数的图象有唯一交点(1,0)，当102a时，两函数的图象有两个交点．考点2利用导数研究最值【例2】（2013昌平二模）已知函数21()ln(0).2fxxaxa（1）若()fx在2x处的切线与直线3210xy平行，求()fx的单调区间；（2）求()fx在区间[1,e]上的最小值．【解析】（1）()fx的定义域为(0,)．2()axafxxxx．由()fx在2x处的切线与直线3210xy平行，∴43(2)22af，∴1a．此时21()ln2fxxx，21()xfxx．令()0fx，得1x．)(xf与)(xf的情况如下：x（0,1）1(1,))(xf—0+)(xf↘12↗∴)(xf的单调递减区间是（0,1），单调递增区间是(1,)．(2)2()axafxxxx．由0a及定义域为(0,)，令()0fx，得xa．①若1a，即01a时，在(1,e)上，()0fx，)(xf在[1,e]上单调递增，min1()(1)2fxf；②若1ea，即21ea时，在1,)a（上，'()0fx，)(xf单调递减；在,e)a（上，'()0fx，)(xf单调递增，因此在[1,e]上，min1()()(1ln)2fxfaaa；③若ea，即2ea时，在(1,e)上，()0fx，)(xf在[1,e]上单调递减，2min1()(e)e2fxfa．综上，当01a时，min1()2fx；当21ea时，min1()(1ln)2fxaa；当2ea时，2min1()e2fxa．【变式】（2013扬州质检）已知函数xmxxfln)(（Rm）在区间],1[e上取得最小值4，则m．【答案】e3【解析】221()mxmfxxxx．令()0fx，解得xm，当1m时，()0fx，∴()fx在],1[e上为增函数，∴min()(1)4fxfm，解得4m（舍去）；当1me时，[1,)xm时，()0fx，(,]xme时，()0fx，∴()fx在(0,)m上为减函数，在(,]me上为增函数，∴min()()ln()14fxfmm，解得3me（舍去）；当me时，[1,]xe时，()0fx，∴()fx在[1,]e上为减函数，∴min()()ln4mfxfeee，解得3me．考点3极值与最值的应用【例3】（2013西城二模）已知函数||()e||xfxx．若关于x的方程()fxk有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A．(0,1)B．(1,)C．(1,0)D．(,1)【答案】B【解析】∵函数||()e||xfxx为偶函数，∴只需0x时，()fxk有一个实根，∵0x时，()exfxx，()e10xfx，∴()fx在(0,)上单调递增，∴()(0)1fxf，∴1k．【变式】（2013东莞二模）已知函数()2xfxexa有零点，则a的取值范围是．【答案】]22ln2,(【解析】()2xfxe．令()0fx，解得ln2x．当(,ln2)x时，()0fx，当(ln2,)x时，()0fx，∴函数()fx在ln2x处取得极小值，∴min()(ln2)22ln2fxfa．∵()2xfxexa有零点，∴22ln20a，即2ln22a．1．极值是一个局部概念⑴极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小；⑵函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不只一个；⑶极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值．归纳反思2．最值是一个整体概念⑴在闭区间,ab上连续的函数()fx在,ab上必有最大值与最小值；⑵在开区间(,)ab内连续的函数()fx不一定有最大值与最小值；⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个．