第六章AHP决策分析的基本原理与计算方法-2

第六章AHP决策分析方法本章主要内容一、多目标决策问题二、AHP方法基本原理（算法）三、AHP方法基本步骤四、AHP方法的应用美国运筹学家T.L.Saaty于20世纪70年代提出的AHP决策分析法（analytichierarchyprocess，简称AHP方法），是一种定性与定量相结合的决策分析方法。它是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。AHP决策分析法，是一种将决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化的过程。应用这种方法，决策者通过将复杂问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间进行简单的比较和计算，就可以得出不同方案的权重，为最佳方案的选择提供依据。一、多目标决策问题（一）问题举例：1、假期旅游地点选择暑假有3个旅游胜地可供选择。例如：：苏州杭州，北戴河，桂林，到底到哪个地方去旅游最好？要作出决策和选择。为此，要把三个旅游地的特点，例如：①景色；②费用；③居住；④环境；⑤旅途条件等作一些比较——建立一个决策的准则，最后综合评判确定出一个可选择的最优方案。2、资源开发的综合判断7种金属可供开发，开发后对国家贡献可以通过两两比较得到，决定对哪种资源先开发，效用最用。（二）问题分析例如，旅游地选择问题：一般说来，此决策问题可按如下步骤进行：（1）将决策解分解为三个层次，即：目标层：（选择旅游地）准则层：（景色、费用、居住、饮食、旅途等5个准则）方案层：（有三个选择地点）并用直线连接各层次。（2）互相比较各准则对目标的权重，各方案对每一个准则的权重。这些权限重在人的思维过程中常是定性的。例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择；中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择；经济不好的人：会把费用低作为第一选择。而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。（3）将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合。（4）最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。以上步骤和方法即是AHP的决策分析方法。（一）成对比较矩阵（判断矩阵）1、成对比较法二、AHP方法的基本算法（原理）目的：要比较某一层各个因素对上一层因素的影响（例如：旅游决策解中，比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性）。采用方法：每次取两个因素和比较其对目标因素的影响，并用aij表示，全部比较的结果用判断矩阵（成对比较矩阵）表示)1(1,0,)(ijijijjiijnxnijaaaaaaA或由于上述成对比较矩阵有特点：故又可称A为正互反矩阵oc1c2cnc1a11a12a1nc2a21a22a2ncnan1an2ann……………………成对比较矩阵定义：设有n个因素，分别为c1，c2，…cn2、取值方法aij表示对于O而言，元素Ci对Cj的相对重要性程度的判断值。2112a=（费用）（景色）21CC表示：2O1O21的重要性为（费用）对目标的重要性为景色）对目标（CC故：），费用重要性为即景色重要性为21(2112a14413a（居住条件）（景色）31CC=表示：1OC4O(31的重要性为（居住条件）对目标的重要性为景色）对目标C17723a（居住条件）（费用）32CC=表示：1OC7O(32的重要性为（居住条件）对目标的重要性为费用）对目标C准则层的成对比较矩阵（判断矩阵）：1135131112513131211714155712334211旅途饮食居住费用景色A景色费用居住饮食旅途（二）一致性矩阵1、定义：比较完全一致的情况，即满足正互反矩阵，成为一致阵。1a,,1,,1nn221122222212211121121111nnnnnnjiijnnnnnkjiaaikjkij,2,1,,,*2、性质：（1）W=（W1，W2，W3，…Wn）T（2）Rank(A)=1（3）AW=nW—W是A的特征向量—n是A的最大特征根（4）W=（W1，W2，W3，…Wn）T是一个排序（权向量）nnnnnn212221212111，则向量321满足：nWnWnWn21212112111（三）成对比较阵与权向量WAWmaxmax对于不一致性（但在允许范围内）的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根对应的特征向量作为权向量，即1、定理：n阶正互反矩阵是一致阵的充要条件是nmax2、成对比较矩阵的一致性检验:（1）一致性指标CI1maxnnCI当CI＝0时，判断矩阵具有完全一致性；反之，CI愈大，就表示判断矩阵的一致性就越差。（2）随机一致性检验指标——RI阶数123456789101112131415RI000.580.91.121.241.321.411.451.491.521.541.561.581.59成对比较矩阵A的维数越大，判断的一致性越差，因此，应放宽对高维矩阵的一致性要求。引入修正值RI来校正一致性检验指标：即定义RI的修正值表为：CR0.1时，就认为判断矩阵具有令人满意的一致性；否则，当CR0.1时，就需要调整判断矩阵，直到满意为止。（3）一致性比率——CRRICICR三、AHP决策分析方法的基本步骤(一）明确问题即弄清问题的范围，所包含的因素，各因素之间的关系等，以便尽量掌握充分的信息。（二）建立层次结构模型（三）构造判断矩阵（四）层次单排序（五）层次总排序（六）层次总排序的一致性检验(一）明确问题假期旅游地点选择暑假有3个旅游胜地可供选择。例如：：苏州杭州，北戴河，桂林，到底到哪个地方去旅游最好？要作出决策和选择。为此，要把三个旅游地的特点，例如：①景色；②费用；③居住；④环境；⑤旅途条件等作一些比较——建立一个决策的准则，最后综合评判确定出一个可选择的最优方案。在这一个步骤中，要求将问题所含的要素进行分组，把每一组作为一个层次，并将它们按照：最高层（目标层）—若干中间层（准则层）—最低层（措施层）的次序排列起来。（二）建立层次结构模型图6.1.1AHP决策分析法层次结构示意图将决策解分解为三个层次，即：目标层：（选择旅游地）准则层：（景色、费用、居住、饮食、旅途等5个准则）方案层：（有三个选择地点）（三）构造判断矩阵（成对比较矩阵）1、判断矩阵表示针对上一层次中的某元素而言，评定该层次中各有关元素相对重要性程度的判断。其形式如下：oc1c2cnc1a11a12a1nc2a21a22a2ncnan1an2ann……………………2、其中，aij表示对于O而言，元素Ci对Cj的相对重要性程度的判断值。1135131112513131211714155712334211旅途饮食居住费用景色A54321C,C,C,C,C相对于目标层的O的判断矩阵为景色费用居住饮食旅途54321C,C,C,C,C321,,PPP准则相对于的判断矩阵为1215121215213332312322211312111bbbbbbbbbB1383113813112B1311311333YYB114111314314B144411141115B注意：判断矩阵的数值是根据数据资料、专家意见和分析者的认识，加以平衡后给出的。向量。即对于判断矩阵A，计算满足（6.1.5）1、概念：确定本层次与上层次中的某元素有联系的各元素重要性次序的权重值。2、任务：计算判断矩阵的特征根和特征（四）层次单排序WWmaxA在（6.1.5）式中，λmax为判断矩阵A的最大特征根，W为对应于λmax的正规化特征向量，W的分量Wi就是对应元素单排序的权重值。特征根的近似求法（1）“和法”求最大特征根和对应特征向量nxmijaA)(niijijijaaW1~（ⅰ）将矩阵的每一列向量的归一化得：ijW~njijiWW1~~（ⅱ）对按行求和得：iW~niiii~~n1（ⅲ）将归一化，即有：，则有特征向量：n1maxniiiWAWn1max)(1（ⅳ）计算与特征向量对应的最大特征根的近似值：（2）“根法”求最大特征根和对应特征向量nxmijaA)(niijijijaaW1~（ⅰ）将矩阵的每一列向量的归一化得：ijW~（ⅱ）对按行求积得并开n次方根：iW~（ⅲ）将归一化，即有：，则有特征向量：n1maxniiiWAWn1max)(1（ⅳ）计算与特征向量对应的最大特征根的近似值：nnjijiWW11~~ninnjijnnjijniiii~~~~n1例：在旅游问题中，求准则层对目标层的判断矩阵为A的特征向量和最大特征根(和法)1135131112513131211714155712334211A1132.0333.01122.0333.0333.05.01143.025.0557123345.01nxmijaA)(niijijijaaW1~（S1）将矩阵的每一列向量的归一化得：097.0095.0176.0098.0085.0097.0095.0118.0098.0085.0032.0048.0059.0070.0064.0484.0476.0411.0489.0510.029.0286.0235.0245.0265.0~nxnijWA333.1011333.0535.10115.0531732174043.22.02.0143.015.0917.3333.0333.025.02154321各列归一化的分母ijW~njijiWW1~~（S2）对按行求和得：WWAi~511.0493.0273.037.2312.1~iW~niiii~~（S3）将归一化，即有：，则有特征向量：102.0099.0055.0474.0262.0511.0493.0273.037.2312.1999.41~1niii)511.0493.0273.037.2312.1(~51iW其中n1n1maxniiiWAWn1max)(1（S4）计算与特征向量对应的最大特征根的近似值：5154143132121111max511WWaWWaWWaWWaWWaWWAnnjiijnjiijnjiijnjiijnjiijniii0802.5401.2551373.598.4960.4038.505.551102.0548.0099.0493.0055