您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 项目/工程管理 > 27二次根式复习专题讲义(补课用)
二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念:1.二次根式:形如a(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号。①.式子中,被开方数(式)必须大于等于零。②.a(a≥0)是一个非负数。③.(a)2=a(a≥0);2a=a(a≥0)2.二次根式的乘:①.一般的,有a·b=ab.(a≥0,b≥0)②.反过来,有ab=a×b(a≥0,b≥0)3.二次根式的除:①.一般地,对二次根式的除法规定:ab=ab(a≥0,b0),②.反过来,ab=ab(a≥0,b0)4.二次根式的加减法则:二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并。典型例题分析:例1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:2、33、1x、x(x0)、0、42、-2、1xy、xy(x≥0,y≥0).分析:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0。解:二次根式有:2、x(x0)、0、-2、xy(x≥0,y≥0);不是二次根式的有:33、1x、42、1xy。例2.当x是多少时,23x+11x在实数范围内有意义?分析:要使23x+11x在实数范围内有意义,必须同时满足23x中的≥0和11x中的x+1≠0.解:依题意,得23010xx由①得:x≥-32由②得:x≠-1当x≥-32且x≠-1时,23x+11x在实数范围内有意义。变式题1:当x是多少时,31x在实数范围内有意义?分析:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0,31x才能有意义.解:由3x-1≥0,得:x≥13当x≥13时,31x在实数范围内有意义.变式题2:①.当x是多少时,23xx+x2在实数范围内有意义?解:依题意得:2300xx,320xx∴当x-32且x≠0时,23xx+x2在实数范围内没有意义。②.若3x+3x有意义,则2x=_______。③.使式子2(5)x有意义的未知数x有()个。例3.①.已知y=2x+2x+5,求xy的值.(答案:25)②.若1a+1b=0,求a2004+b2004的值.(答案:2)③.已知1xy+3x=0,求xy的值.(答案:81)例4.计算1.(32)22.(35)23.(56)24.(72)2分析:我们可以直接利用(a)2=a(a≥0)的结论解题.解:(32)2=32,(35)2=32·(5)2=32·5=45,(56)2=56,(72)2=22(7)724.例5.计算1.(1x)2(x≥0)2.(2a)23.(221aa)24.(24129xx)2分析:(1)因为x≥0,所以x+10;(2)a2≥0;(3)a2+2a+1=(a+1)2≥0;(4)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0.所以上面的4题都可以运用(a)2=a(a≥0)的重要结论解题.解:(1)因为x≥0,所以x+10(1x)2=x+1(2)∵a2≥0,∴(2a)2=a2(3)∵a2+2a+1=(a+1)2又∵(a+1)2≥0,∴a2+2a+1≥0,∴221aa=a2+2a+1(4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2又∵(2x-3)2≥0∴4x2-12x+9≥0,∴(24129xx)2=4x2-12x+9变式题:计算1.(-323)22.(2332)(2332)例6.在实数范围内分解下列因式:(1)x2-3(2)x4-4(3)2x2-3例7.化简(1)9(2)2(4)(3)25(4)2(3)分析:因为(1)9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,(4)(-3)2=32,所以都可运用2a=a(a≥0)去化简。解:(1)9=23=3(2)2(4)=24=4(3)25=25=5(4)2(3)=23=3例8.填空:当a≥0时,2a=_____;当a0时,2a=_______,并根据这一性质回答下列问题.(1)若2a=a,则a可以是什么数?(2)若2a=-a,则a可以是什么数?(3)2aa,则a可以是什么数?分析:∵2a=a(a≥0),∴要填第一个空格可以根据这个结论,第二空格就不行,应变形,使“()2”中的数是正数,因为,当a≤0时,2a=2()a,那么-a≥0.(1)根据结论求条件;(2)根据第二个填空的分析,逆向思想;(3)根据(1)、(2)可知2a=│a│,而│a│要大于a,只有什么时候才能保证呢?a0.解:(1)因为2a=a,所以a≥0;(2)因为2a=-a,所以a≤0;(3)因为当a≥0时2a=a,要使2aa,即使aa所以a不存在;当a0时,2a=-a,要使2aa,即使-aa,a0综上,a0例9.当x2,化简2(2)x-2(12)x.例10.先化简再求值:当a=9时,求a+212aa的值,甲乙两人的解答如下:甲的解答为:原式=a+2(1)a=a+(1-a)=1;乙的解答为:原式=a+2(1)a=a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中,_______的解答是错误的,错误的原因是__________.变式题1.若│1995-a│+2000a=a,求a-19952的值.(提示:先由a-2000≥0,判断1995-a的值是正数还是负数,去掉绝对值)变式题2.若-3≤x≤2时,试化简│x-2│+2(3)x+21025xx。(答案:10-x)例11.计算(1)5×7(2)13×9(3)9×27(4)12×6分析:直接利用a·b=ab(a≥0,b≥0)计算即可.解:(1)5×7=35(2)13×9=193=3(3)9×27=292793=93(4)12×6=162=3例12.化简(1)916(2)1681(3)81100(4)229xy(5)54分析:利用ab=a·b(a≥0,b≥0)直接化简即可.解:(1)916=9×16=3×4=12(2)1681=16×81=4×9=36(3)81100=81×100=9×10=90(4)229xy=23×22xy=23×2x×2y=3xy(5)54=96=23×6=36例13.判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正:(1)(4)(9)49(2)12425×25=4×1225×25=41225×25=412=83解:(1)不正确.改正:(4)(9)=49=4×9=2×3=6(2)不正确.改正:12425×25=11225×25=1122525=112=167=47变式题1:若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm和12cm,那么此直角三角形斜边长是().变式题2:化简a1a的结果是().变式题3:1014=_______.√169×6变式题4:一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水,现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中,当铁桶装满水时,容器中的水面下降了20cm,铁桶的底面边长是多少厘米?设:底面正方形铁桶的底面边长为x,则x2×10=30×30×20,x2=30×30×2,x=3030×2=302.变式题5:探究过程:观察下列各式及其验证过程.(1)223=223验证:223=22×23=2223=332(22)233=3222222222(21)221212121=223(2)338=338验证:338=23×38=338=3233331=222223(31)33(31)3313131=338同理可得:4444151555552424,……通过上述探究你能猜测出:a21aa=_______(a0),并验证你的结论.解:a21aa=21aaa验证:a21aa=322211aaaaa=33222111aaaaaaaaa=222(1)11aaaaa=21aaa.例14.计算:(1)123(2)3128(3)11416(4)648分析:上面4小题利用ab=ab(a≥0,b0)便可直接得出答案.解:(1)123=123=4=2(2)3128=313834282=3×=23(3)11416=111164164=4=2(4)648=648=8=22例15.化简:(1)364(2)22649ba(3)2964xy(4)25169xy分析:直接利用ab=ab(a≥0,b0)就可以达到化简之目的.解:(1)364=33864(2)22649ba=2264839bbaa(3)2964xy=293864xxyy(4)25169xy=25513169xxyy例16.已知9966xxxx,且x为偶数,求(1+x)22541xxx的值.分析:式子ab=ab,只有a≥0,b0时才能成立.因此得到9-x≥0且x-60,即6x≤9,又因为x为偶数,所以x=8.解:由题意得9060xx,即96xx∴6x≤9∵x为偶数∴x=8∴原式=(1+x)(4)(1)(1)(1)xxxx=(1+x)41xx=(1+x)4(1)xx=(1)(4)xx∴当x=8时,原式的值=49=6.变式题1.计算112121335的结果是().变式题2.阅读下列运算过程:1333333,225255555数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”,那么,化简26的结果是().变式题3.已知x=3,y=4,z=5,那么yzxy的最后结果是_______.变式题4.有一种房梁的截面积是一个矩形,且矩形的长与宽之比为3:1,现用直径为315cm的一种圆木做原料加工这种房梁,那么加工后的房染的最大截面积是多少?解:设:矩形房梁的宽为x(cm),则长为3xcm,依题意,得:(3x)2+x2=(315)2,4x2=9×15,x=3215(cm),3x·x=3x2=13543(cm2).变式题5.计算(1)32nnmm·(-331nmm)÷32nm(m0,n0)(2)-3222332mna÷(232mna)×2amn(a0)解:(1)原式=-4252nnmm÷32nm=-432522nnmmmn=-3222nnnnnmmmm=-23nnm(2)原式=-22223()()2mnmnaaamnmn=-2232a=-6a例17.把它们化成最简二次根式:(1)5312;(2)2442xyxy;(3)238xy点评:二次根式有如下两个特点:1.被开方数不含分母;2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.例18.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的长.BAC解:因为AB2=AC2+BC2所以AB=222.56=2516916913()362424=6.5(cm)因此AB的长为6.5cm.例19.观察下列各式,通过分母有理数,把不是最简二次根式的化成最简二次根式:121=1(21)2121(21)(21)=2-1,132=1(32)3232(32)(32)=3-2,同理可得:143=4-3,……从计算结果中找出规律,并利用这一规律计算(121+132+143+……120022001)(2002+1)的值.分析:由题意可知,本题所给的是一组分母有理化的式子,因此,分母有理化后就可以达到化简的目的.解:原式=(2-1+3-2+4-3+……+2002-2001)×(2002+1)=(2002-1)(2002+1)=2002-1=2001练习:一、选择题1.如果xy(y0)是二次根式,那么,化为最简二次根式是().A.xy(y0)B.xy(y0)C.xyy(y0)D.以上都不
本文标题:27二次根式复习专题讲义(补课用)
链接地址:https://www.777doc.com/doc-6211810 .html