中考圆与相似、解直角三角形综合试题课件

黄店镇中学九年级数学组中考圆与相似、解直角三角形综合试题专题讲解解直角三角形与圆1.（江苏镇江）如图，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交弦AC于点E，FC=FE。（1）求证：FC是⊙O的切线（2）若⊙O的半径为5，求弦AC的长（1）证明：连接OC∵FC=FE，∴∠FCE=∠FEC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA又∵∠FEC=∠AED∴∠FCE=∠AED又∵DF⊥AB∴∠OAC＋∠AED=90°∴∠OCA＋∠FCE=90°即∠OCF=90°∴OC⊥CF又∵OC是⊙O的半径∴FC是⊙O的切线2cosFCE=5（2）解：连接BC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°∵OB=OC∴∠OBC=∠OCB∵∠OCB=∠ACB－∠ACO=90°－∠ACO=∠OCF－∠ACO=∠FCE∴∠OBC=∠FCE又∵∴又∵⊙O的半径为5∴AB=10。在Rt△ABC中，∴2cosFCE=52cosOBC=52BCABcosOBC=10452222ACABBC104221【考点】等腰三角形的性质，对项角的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】（1）要证FC是⊙O的切线，只要FC垂直于过C点的半径，所以作辅助线OC。由已知条件，根据等腰三角形的等边对等角性质，直角三角形两锐角互余的关系，经过等量代换即可得到。（2）构造直角三角形ABC，由等量代换得到∠OBC=∠FCE，从而得到，应用锐角三角函数知识和勾股定理即可求得弦AC的长。2（四川巴中）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°。（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值。（1）解：CD与⊙O相切理由：连接BD，OD∵AB是直径∴∠ADB=90°。∵∠ABD=∠E=45°∴∠DAB=45°，则AD=BD∴△ABD是等腰直角三角形∴OD⊥AB又∵DC∥AB∴OD⊥DC∴CD与⊙O相切。（2）解：过点O作OF⊥AE，连接OE则AF=AE=×10=5∵OA=OE∴∠AOF=∠AOE。∵∠ADE=∠AOE∴∠ADE=∠AOF。在Rt△AOF中，sin∠AOF=∴sin∠ADE=sin∠AOF=AF5AO6AF5AO63（福建福州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若∠B＝60º，CD＝2，求AE的长．3(1)证明：如图，连接OC∵CD为⊙O的切线∴OC⊥CD∴∠OCD＝90°∵AD⊥CD∴∠ADC＝90°∴∠OCD＋∠ADC＝180°∴AD∥OC∴∠CAD＝∠ACO∵OA＝OC∴∠ACO＝∠CAO∴∠CAD＝∠CAO，即AC平分∠DAB(2)解：∵AB为⊙O的直径∴∠ACB＝90°．又∵∠B＝60°∴∠CAD＝∠CAB＝30°在Rt△ACD中，CD＝2∴AC＝2CD＝4在Rt△ABC中，AC＝4∴AB＝8连接OE，∵∠EAO＝2∠CAB＝60°，OA＝OE∴△AOE是等边三角形∴AE＝OA＝AB＝4333相似与圆4（广西北海）如图，AB是O的直径，AE交O于点E，且与O的切线CD互相垂直，垂足为D。（1）求证：∠EAC＝∠CAB（2）若CD＝4，AD＝8①求O的半径②求tan∠BAE的值（1）证明：连接OC∵CD是⊙O的切线∴CD⊥OC又∵CD⊥AE∴OC∥AE∴∠1＝∠3∵OC＝OA∴∠2＝∠3∴∠1＝∠2，即∠EAC＝∠CAB2）解：①连接BC∵AB是⊙O的直径，CD⊥AE于点D∴∠ACB＝∠ADC＝90°∵∠1＝∠2∴△ACD∽△ABC∴∵AC2＝AD2＋CD2＝42＋82＝80∴AB＝＝10。∴⊙O的半径为10÷2＝5ADACACAB2ACAD808②连接CF与BF。∵四边形ABCF是⊙O的内接四边形，∴∠ABC＋∠AFC＝180°。∵∠DFC＋∠AFC＝180°，∴∠DFC＝∠ABC。∵∠2＋∠ABC＝90°，∠DFC＋∠DCF＝90°，∴∠2＝∠DCF。∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DCF。∵∠CDF＝∠CDF，∴△DCF∽△DAC。∴。∴DF＝＝2。∴AF＝AD－DF＝8－2＝6。∵AB是⊙O的直径，∴∠BFA＝90°。∴BF＝＝8。∴tan∠BAD＝。CDDFADCD2222ABAF106BFAF84635（山东聊城）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D．（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由；（2）当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长．解：（1）当点P是的中点时，DP是⊙O的切线。理由如下：连接AP。∵AB=AC，∴又∵∴∴PA是⊙O的直径。∵∴∠1=∠2。又∵AB=AC∴PA⊥BC。又∵DP∥BC∴DP⊥PA∴DP是⊙O的切线。ABACPBPCPBAPCAPBPC（2）解：连接OB，设PA交BC于点E。．由垂径定理，得BE=BC=6。在Rt△ABE中，由勾股定理，得：AE=设⊙O的半径为r，则OE=8﹣r，在Rt△OBE中，由勾股定理，得：r2=62+（8﹣r）2，解得r=∵DP∥BC∴∠ABE=∠D。又∵∠1=∠1∴△ABE∽△ADP，∴即，解得2222ABBE1068254BEAEDPAP6825DP2475DP86（湖北恩施）如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．513（1）证明：连接OB，∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC。又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。∴∠OBA+∠ABC=90°∴OB⊥BC。∴BC是⊙O的切线。（2）解：连接OF，AF，BF，∵DA=DO，CD⊥OA，∴△OAF是等边三角形。∴∠AOF=60°。∴∠ABF=∠AOF=30°。12（3）解：过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，∴EG=BE=5。易证Rt△ADE∽Rt△CGE，∴sin∠ECG=sin∠A=，∴∴又∵CD=15，CE=13，∴DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE得，即，解得。∴⊙O的半径为2AD=513EG5CE==135sinECG132222CGCEEG13512ADDECGGEAD212524AD54857（江苏泰州）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=，求⊙O的半径和线段PB的长；（1）解：AB=AC。理由如下：连接OB。∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°。∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90°∵OP=OB∴∠OBP=∠OPB∵∠OPB=∠APC∴∠ACP=∠ABC。∴AB=AC。52（2）解：延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5－r。又∵PC=∴由（1）AB=AC得，解得：r=3。∴AB=AC=4。∵PD是直径∴∠PBD=90°=∠PAC。∵∠DPB=∠CPA∴△DPB∽△CPA∴即，解得。252222222222ABOAOB5rACPCPA255r，（）22225r255r（）CPAPPDBP2526BP65PB=58.（湖北黄冈）如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D.连结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）求证：DB2=AB·BE.证明：（1）连接OD、BD，则∠ADB=90°∵BA=BC∴CD=AD又∵AO=BO∴OD是△ABC的中位线。∴OD∥BC。∵∠DEB=90°∴∠ODE=90°，即OD⊥DE。∴DE为⊙O的切线。（2）∵∠BED=∠BDC=900，∠EBD=∠DBC，∴△BED∽△BDC，∴又∵AB=BC∴∴BD2=AB•BE。BDBEBCBDBDBEABBD