5同角三角函数的基本关系式(1)

1.2.2同角三角函数的基本关系1.2任意角的三角函数问题提出1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的？2.在单位圆中，任意角的正弦、余弦、正切函数线分别是什么？MP=sinα，OM=cosα，AT=tanα.sinycosxtan(0)yxxPOxyMAT3.对于一个任意角α，sinα，cosα，tanα是三个不同的三角函数，从联系的观点来看，三者之间应存在一定的内在联系，我们希望找出这种同角三角函数之间的基本关系，实现正弦、余弦、正切函数的互相转化，为进一步解决三角恒等变形问题提供理论依据．知识探究（一）：基本关系221MPOM22sincos1思考1：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P，那么，正弦线MP和余弦线OM的长度有什么内在联系？由此能得到什么结论？POxyM1思考2：上述关系反映了角α的正弦和余弦之间的内在联系，根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？OxyPP22sincos1思考3：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），根据三角函数定义，有，，，由此可得sinα，cosα，tanα满足什么关系？sinycosxtan(0)yxxsintancos思考4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是多么？()2akkZ同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于这个角的正切.思考5：平方关系和商数关系是反映同一个角的三角函数之间的两个基本关系，它们都是恒等式，如何用文字语言描述这两个关系？sintancos22sincos1知识探究（二）：基本变形22sincos1思考1：对于平方关系可作哪些变形？22sincos122sin1cos,22cos1sin,2(sincos)12sincos,2(sincos)12sincos,1cossin,sin1cos1sincos.cos1sin思考2：对于商数关系可作哪些变形？sintancossincostan,sincos.tan思考3：结合平方关系和商数关系，可得到哪些新的恒等式？221cos,1tan222tansin.1tan思考4：若已知sinα的值，如何求cosα和tanα的值？思考5：若已知tanα的值，如何求sinα和cosα的值？2cos1sin,sintan.cos21cos,1tansincostan.2222221,sin3cos31sin22tan;2cos2(3),sincos1;(4)sinsin判断正误：（）对任意角都成立；（）对任意角,对任意角，有与所表达的意义相同。注意：同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的，由此可以派生出许多变形公式，应用中具有灵活、多变的特点.对错错错理论迁移例1．①已知12sin13，3(22，），求cos，tan2225:cos1sin169解35(,2),cos213sin12tan.cos5变式：将条件“3(22，）”去掉，求cos，tan22255:cos1sin,cos16913解5sin12cos,tan;13cos5当时5sin12cos,tan.13cos5当时例2、已知3tan3，是第三象限角，求sin，cos的值22sin3:cos3sincos1解,是第三象限角13sin,cos.22例2、化简求值（1）sincostan1（2）21sin130技巧：（1）切割化弦；（2）根号问题注意符号。sincossincossincos(1)cossinsincostan11coscos202000(2)1sin130cos130|cos130|cos130例3、证明（1）442sincos2sin1（2）2222tansintansin（3）cos1sin1sincos技巧：（1）由繁到简；（2）一边推出另一边；（3）作差法；（4）两端同时化简。cossin1sin1cosp19例5．求证：证明：cossin1sin1coscos)sin1()sin1(cos220cos)sin1(coscos22因此cossin1sin1cos作差法同角关系式的应用（3）证明恒等式比较法证法二：2sin1)sin1)(sin1(因为2coscoscos因此cossin1sin1cos由原题知：0cos,0sin1恒等变形的条件分析法证法三：由原题知：0cos则1sin原式左边=)sin1)(sin1()sin1(cos2sin1)sin1(cos2cos)sin1(coscossin1=右边因此cossin1sin1cos恒等变形的条件四、达标测试2011cos2011sin122、的值为是第四象限角，则、已知tan,43sin2773、C47-、D47、B773、A1、A2、B2011、C、不能确定DAC总结：22sincos1sin:tancos平方关系：商数关系