2016版新课标高考数学题型全归纳文科PPT.第二章 函数第1~2节

第二章函数第一节函数的概念及其表示✎考纲解读1.了解函数的构成要素，了解映射的概念.2.在实际情况中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列举法、解析法）表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用.✎知识点精讲一、基本概念1.映射设，是两个非空集合，如果按照某种确定的对应法则，对中的任何一个元素，在中有且仅有一个元素与之对应，则称是集合到集合的映射.ABfAxByfAB2.象与原象如果给定一个从集合到集合的映射，那么与中的元素对应的中的元素叫的象，记作，叫的原象.的象记为.3.一一映射设，是两个集合，是到的映射，在这个映射下，对应集合中的不同元素，在集合中都有不同的象，且集合中的任意一个元素都有唯一的原象，那么该映射叫为的一一映射.4.函数设集合是一个非空的实数集，对集合中任意实数，按照确定的法则，集合中都有唯一确定的实数值与它对应，则这种对应关系叫做集合到集合上的一个函数，记作，，其中叫做自变量，其取值范围（数集）叫做该函数的定义域.如果自变量取值，则由法则确定的值称为函数在处的函数值，记作或所以函数值构成的集合叫做该函数的值域.ABAaBba()bfaabA()fAABfABABBfAB,ABAxfByAB()yfxxAxAafya()yfaxay(),yyfxxA✎题型归纳及思路提示题型10映射与函数的概念【例2.1】若构成映射，下列说法正确的有（）.①中任一元素在中必须有象且唯一；②中的多个元素可以在中有相同的原象；③中的元素可以在中无原象；④象的集合就是集合.A.①②B.③④C.①③D.②③④【解析】由映射的定义可知，①集合中任一元素在中必须有象且唯一是正确的.集合中的元素的任意性与集合中元素的唯一性构成映射的核心.显然②不正确，“一对多”不是映射；③正确；④不正确，象的集合是集合的子集，并不一定为集合故选C.:fABAAAABBBBBBBA.B题型11同一函数的判断【例2.3】在下列各组函数中，找出是同一函数的一组.（1）与；（2）与；（3）与【解析】（1）的定义域为，的定义域为，故该组的两个函数不是同一函数.（2）的定义域为；的定义域为，故该组的两个函数不是同一函数.（3）两个函数的定义域为，且对应法则也相同，故该组的两个函数是同一函数.【评注】由函数概念的两要素容易看出，函数的表示法只与定义域和对应法则有关，而与用什么字母表示变量无关，这被称为函数表示法的“无关特性”.0yx1y2yx2yx31xyx331.tyt0yx1y0xxR2yx0xx…2yxR0xx题型12函数解析式的求法【例2.4】已知函数满足，则的表达式为_______.【解析】，又或，故（）.()fx2211fxxxx()fx2112fxxxx12xx…12xx„2()2fxx22xx或厔【例2.5变式1】已知𝑓𝑥是一次函数，若𝑓𝑓𝑥=4𝑥−1，求𝑓𝑥.【分析】因为𝑓𝑥是一次函数，所以可用待定系数法求解析式.【解析】设𝑓𝑥=𝑘𝑥+𝑏𝑘≠0，则𝑓𝑓𝑥=𝑘𝑓𝑥+𝑏=𝑘𝑘𝑥+𝑏+𝑏=𝑘2𝑥+𝑘𝑏+𝑏=4𝑥−1，得𝑘2=4𝑘𝑏+𝑏=−1，解得𝑘=2𝑏=−13或𝑘=−2𝑏=1.所以𝑓𝑥=2𝑥−13或𝑓𝑥=−2𝑥+1.【解析】解法一：令𝑥+1=𝑡𝑡≥1，则𝑥=𝑡−1，得𝑥=𝑡−12𝑡≥1，所以𝑓𝑡=𝑡−12+2𝑡−1=𝑡2−1𝑡≥1，已知𝑓𝑥+1=𝑥+2𝑥，求函数𝑓𝑥的解析式.【例2.6】【分析】把𝑥+1看成一个整体，可用换元法求解析式.即𝑓𝑥=𝑥2−1𝑥≥1.解法二（配凑法）：即𝑓𝑥=𝑥2−1𝑥≥1.利用换元法求函数解析式时，应注意对新元𝑡的取值范围的限制.【评注】因为𝑓𝑥+1=𝑥+2𝑥=𝑥+12−1，【例2.8】已知函数，，求，的表达式【分析】本题考查分段函数的概念，根据函数对符合变量的要求解题.【解析】由，可得当时，即当当时，即时，因此【评注】对于分段函数的形式，不论是求值还是求分段函数表达式，一定要注意复合变量的要求.0fx12x()1.gfx21212().112xxgfxx…()21fxx20()10xxgxx…()fgx()gfx20()10xxgxx…2210()2()1.30xxfgxgxx…()210fxx…12x，…2()21gfxx；题型13函数定义域的求解【例2.10】函数的定义域为（）.A.B.C.D.【分析】本题考查对数、分式、根式有关的函数定义域的求解.【解析】.故选C.2ln134xyxx4,14,11,11,1210340xxx141xx11x题型14函数值域的求解【例2.17】求函数的值域.【解析】令，，得，.因为函数的对称轴，所以函数在区间上单调递增，因此值域为，故函数的值域为()3423,1,2xxfxx2xt1,42t233ytt1,42t233ytt16t1,4213,474()fx13,47.4【例2.18】求的值域.【分析】本例中的函数是关于的齐次分式，故可以考虑使用分离常数法加以求解.【解析】由题意，因为，故.，，故所求函数的值域为.【评注】本题除可以使用分离常数法求解外，还可以使用反解出，利用求解的范围，读者可自行完成.2e1e2xxyex2e12e4332e2e2e2xxxxxye0x330e22x3302e2x13222e2x1,22exe0xy【例2.22】⟹𝑦2+1sin⁡(𝑥+𝜑)=2，由𝑦sin𝑥=2−cos𝑥，得𝑦sin𝑥+cos𝑥=2已知0𝑥π，求函数𝑦=2−cos𝑥sin𝑥的值域.【解析】且tan𝜑=1𝑦，故sin(𝑥+𝜑)=2𝑦2+1≤1，即𝑦2+1≥4，解得𝑦≥3或𝑦≤−3.【评注】本题也可以利用数形结合思想求解，设𝜇=−sin𝑥，𝜐=cos𝑥，则𝑦的几何意义为点0，2与点𝜇，𝜐所在直线的斜率，其中𝜇，𝜐为单位圆在𝑦轴左侧部分.又𝑥∈0,π，sin𝑥0，2−cos𝑥0，则𝑦0，故𝑦≥3.因此函数𝑦=2−cos𝑥sin𝑥的值域为3，+∞).第二节函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性✎考纲解读1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.3.会利用函数的图像理解和研究函数的性质.✎知识点精讲1.函数的奇偶性定义设（为关于原点对称的区间），如果对于任任意的都有，则称函数为偶函数；如果对于任意的，都有，则称函数为奇函数.()yfx，xAAxA，()()fxfx()yfxxA()()fxfx()yfx2.函数的单调性定义给定区间上函数，若对于任意的，当时，都有（或），则称函数在区间上是单调递增（或单调递减）的，区间为函数的增（减）区间.3.函数的周期性定义设函数存在非零常数，使得对任何，都有，则函数为周期函数，为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫最小正周期.D()fx12,xxD12xx12()()fxfx12()()fxfx()fxDD()fx()yfx()xDTxD()()fxTfx()fxT✎题型归纳及思路提示题型15函数的奇偶性【例2.24】判断下列函数的奇偶性.(3)；（4）（5）；（7）【分析】利用定义来判断函数的奇偶性分两步：（1）判断定义域的对称性；（2）判断解析式是否满足等量关系：.【解析】（3）由可知：，故函数的定义域为，定义域不具对称性，故为非奇非偶函数.236()33xfxx22()11fxxx；22()log1fxxx22(0)().(0)xxxfxxxx()()fxfx236()33xfxx2360660,6330xxxxx…剟()fx6006xxx或„()fx（4）由，故函数的定义域为，关于原点对称，又因此时，所以，所以函数是既奇又偶函数.（5）因为对任意实数，都有，故定义域为，且故为奇函数.（7）当时，，，当时，，.故为奇函数.【评注】利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：（1）必须首先判断的定义域是否关于原点对称，（2）有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可能无法判断或判断错误，如本例（4）.222101110xxxx……()0fx()fx1,1()()()fxfxfx()fxx210xxxx…R2222221()log1loglog1(),1fxxxxxfxxx()fx0x0x2()()fxxxfx0x0x2()()fxxxfx()fx()fx【例2.29】函数，若，则的值为（）.A.B.C.D.【分析】函数中为奇函数，利用函数的性质求解.【解析】令，则，得由为奇函数，故，所以故选B.【评注】本题中虽然函数整体没有奇偶性，但可利用局部的奇偶性求解.3()sin1()fxxxxR()2fa()fa30123()sin1fxxx3sinyxx3(),gxxx()()1fxgx()12ga()1.ga()ygx()1ga()()10.faga题型16函数的单调性（区间）【例2.32】设是函数的一个减区间，则实数的取值范围为（）.A.B.C.D.【分析】作出函数的图像，找出递减区间，从而确定的取值范围.【解析】由，得知为偶函数，其图像关于轴对称.只要画出当时的图像，然后将其关于轴对称即可得到部分的图像.如图2-4所示.可知若为函数的减区间，则.故选B.图2-4,a24||5yxxa2a…2a„2a…2a„a24||5yxx()()fxfx()yfxy0x…y0xyx2O25,a()fx2a„【例2.32变式2】已知𝑓𝑥=3𝑎−1𝑥+4𝑎(𝑥1)log𝑎𝑥(𝑥≥1)是𝐑上的减函数，那么𝑎的取值范围是（）.A.0,1B.0,13C.17,13D.[17,1)【分析】本题所给的函数为分段函数，要满足在𝐑上递减，不仅要满足在每个子区间上都递减，而且要满足在整个定义域上都递减.【解析】因为函数𝑓(𝑥)在𝐑上递减，因此3𝑎−10，得𝑎13；当𝑥≥1时，𝑓𝑥=log𝑎𝑥单调递减，故0𝑎1.故𝑥1时，𝑓𝑥=3𝑎−1𝑥+4𝑎单调递减，同时，结合函数𝑓(𝑥)的图像，如图所示，当𝑥=1时，3𝑎−1+4𝑎≥log𝑎1，解得𝑎≥17.综上，𝑎的取值范围是17,13.故选C.1xOy【评注】关于分段函数的单调性应注意：若函数𝑓𝑥=𝑔𝑥,𝑥∈𝑎,𝑏ℎ𝑥,𝑥∈𝑐,𝑑，其中𝑏≤𝑐，若𝑔𝑥在区间𝑎,𝑏上是增函数，ℎ𝑥在区间𝑐,𝑑上是增函数，则函数𝑓𝑥在区间𝑎,𝑏∪𝑐,𝑑上不一定是增函数，需补充条件𝑔𝑏≤ℎ𝑐.分段函数𝑓𝑥=𝑔𝑥,𝑥∈𝑎,𝑏ℎ𝑥,𝑥∈𝑐,𝑑（其中𝑏≤𝑐⁡）为单调递增函数⇔𝑔𝑥在区间𝑎,𝑏上是增函数ℎ𝑥在区间𝑐,𝑑