三角形的五心及其应用

复习三角形五心的位置•内心:三角形的三条角平分线的交点(即内切圆圆心).•外心:三角形三边垂直平分线的交点(即外接圆圆心).•重心:三角形三条中线的交点.•垂心:三角形三条高线的交点.•旁心:三角形的一条内角平分线与不相邻的两条外角平分线的交点(即三角形旁切圆圆心).相关结论(1)三角形的内心到三角形三边距离相等.(2)三角形的外心到三角形三个顶点距离相等.(3)三角形的重心把每条中线均分成2:1两部分.(4)直角三角形的内切圆半径r=(a+b-c);外接圆半径R=(5)三角形面积公式：S=周长r2C2121三角形各心之间的相互联系•(1)等腰三角形的内心、外心、重心、垂心共线(均在对称轴上).•(2)等边三角形的内心、外心、重心、垂心共点.•(3)△ABC的内心o是切点△DEF的外心.•(4)△ABC的外心o是中点△DEF的垂心.•(5)△ABC的垂心H是垂足△DEF的内心.•(6)△ABC的重心G是中点△DEF的重心.三角形各心常见应用举例•例1：三条直线a、b、c分别表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路距离相等，则可供选择的地址有几处？•例2：A、B、C三个点分别表示三个学校，要建一个快餐店，使三个学校到快餐店距离相等，则快餐店应建在何处？练习•1。等腰三角形底边上的高与底角的平分线的交点是等腰三角形的心。•2。点P是△ABC内部一点，且△PAB,△PBC,△PAC面积相等，则点P是△ABC的•心。•3。⊙O与△ABC三边相交所截得的线段相等，则点O是△ABC的心。AFEDCB·O·OABCDEFAE·OBCDF·OABCDEFMNP