特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项

特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{na的项满足dcaabann11,,其中,1,0cc求这个数列的通项公式。定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x，则当10ax时，na为常数列，即0101,;xbaaxaannn时当，其中}{nb是以c为公比的等比数列，即01111,xabcbbnn.证明：因为,1,0c由特征方程得.10cdx作换元,0xabnn则.)(110011nnnnnncbxacccdcacddcaxab当10ax时，01b，数列}{nb是以c为公比的等比数列，故;11nncbb当10ax时，01b，}{nb为0数列，故.N,1naan（证毕）例1．已知数列}{na满足：,4,N,23111anaann求.na解：作方程.23,2310xxx则当41a时，.21123,1101abxa数列}{nb是以31为公比的等比数列.于是：.N,)31(2112323,)31(211)31(1111nbabbnnnnnn例2．已知数列}{na满足递推关系：,N,)32(1niaann其中i为虚数单位。当1a取何值时，数列}{na是常数数列？解：作方程,)32(ixx则.5360ix要使na为常数，即则必须.53601ixa二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式nnnqapaa12，21,aa给出的数列na，方程02qpxx，叫做数列na的特征方程。若21,xx是特征方程的两个根，当21xx时，数列na的通项为1211nnnBxAxa，其中A，B由21,aa决定（即把2121,,,xxaa和2,1n，代入1211nnnBxAxa，得到关于A、B的方程组）；当21xx时，数列na的通项为11)(nnxBAa，其中A，B由21,aa决定（即把2121,,,xxaa和2,1n，代入11)(nnxBnAa，得到关于A、B的方程组）。例3：已知数列na满足),0(0253,,1221Nnnaaabaaannn，求数列na的通项公式。解法一（待定系数、迭加法）由025312nnnaaa，得)(32112nnnnaaaa，且abaa12。则数列nnaa1是以ab为首项，32为公比的等比数列，于是：11)32)((nnnabaa。把nn,,3,2,1代入，得：abaa12，)32()(23abaa，，21)32)((nnnabaa。把以上各式相加，得：])32()32(321)[(21nnabaa)(321)32(11abn。abbaaabannn23)32)((3)]()32(33[11。解法二（特征根法）：数列na：),0(025312Nnnaaannn，baaa21,的特征方程是：02532xx。32,121xx,1211nnnBxAxa1)32(nBA。又由baaa21,，于是：)(32332baBabABAbBAa故1)32)((323nnbaaba三、(分式递推式)定理3：如果数列}{na满足下列条件：已知1a的值且对于Nn，都有hraqpaannn1（其中p、q、r、h均为常数，且rharqrph1,0,），那么，可作特征方程hrxqpxx.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若,1a则;N,nan若1a，则,N,1nbann其中.N,)1(11nrprnabn特别地，当存在,N0n使00nb时，无穷数列}{na不存在；（2）当特征方程有两个相异的根1、2时，则112nnncca，,Nn其中).(,N,)(211212111anrprpaacnn其中例3、已知数列}{na满足性质：对于,324,N1nnnaaan且,31a求}{na的通项公式.解:依定理作特征方程,324xxx变形得,04222xx其根为.2,121故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有：.N,)221211(2313)(11212111nrprpaacnnn∴.N,)51(521ncnn∴.N,1)51(521)51(52211112nccannnnn即.N,)5(24)5(nannn例5．已知数列}{na满足：对于,Nn都有.325131nnnaaa（1）若,51a求;na（2）若,31a求;na（3）若,61a求;na（4）当1a取哪些值时，无穷数列}{na不存在？解：作特征方程.32513xxx变形得,025102xx特征方程有两个相同的特征根.5依定理2的第（1）部分解答.(1)∵.,511aa对于,Nn都有;5na(2)∵.,311aa∴rprnabn)1(1151131)1(531n,8121n令0nb，得5n.故数列}{na从第5项开始都不存在，当n≤4，Nn时，51751nnbann.(3)∵,5,61a∴.1a∴.,811)1(11Nnnrprnabn令,0nb则.7nn∴对于.0bN,nn∴.N,7435581111nnnnbann(4)、显然当31a时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，51a时，数列}{na是存在的，当51a时，则有.N,8151)1(111nnarprnabn令,0nb则得N,11351nnna且n≥2.∴当11351nna（其中Nn且N≥2）时，数列}{na从第n项开始便不存在.于是知：当1a在集合3{或,:1135Nnnn且n≥2}上取值时，无穷数列}{na都不存在.定理3证明：(分式递推问题)：如果数列}{na满足下列条件：已知1a的值且对于Nn，都有hraqpaannn1（其中p、q、r、h均为常数，且rharqrph1,0,），那么，可作特征方程hrxqpxx.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若,1a则;N,nan若1a，则,N,1nbann其中.N,)1(11nrprnabn特别地，当存在,N0n使00nb时，无穷数列}{na不存在.（2）当特征方程有两个相异的根1、2（称作特征根）时，则112nnncca，,Nn其中).(,N,)(211212111anrprpaacnn其中证明：先证明定理的第（1）部分.作交换N,nadnn，则hraqpaadnnnn11hrahqrpann)(hdrhqrpdnn)())((rhrdqphrrpdnn])([)(2①∵是特征方程的根，∴.0)(2qphrhrqp将该式代入①式得.N,)(1nrhrdrpddnnn②将rpx代入特征方程可整理得,qrph这与已知条件qrph矛盾.故特征方程的根,rp于是.0rp③当01d，即11da=时，由②式得,N,0nbn故.N,ndann当01d即1a时，由②、③两式可得.N,0ndn此时可对②式作如下变化：.1)(11rprdrprhrpdrhrddnnnn④由是方程hrxqpxx的两个相同的根可以求得.2rhp∴,122hpphrrhpprrhphrprh将此式代入④式得.N,111nrprddnn令.N,1ndbnn则.N,1nrprbbnn故数列}{nb是以rpr为公差的等差数列.∴.N,)1(1nrprnbbn其中.11111adb当0,Nnbn时，.N,1nbdannn当存在,N0n使00nb时，0001nnnbda无意义.故此时，无穷数列}{na是不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：∵特征方程有两个相异的根1、2，∴其中必有一个特征根不等于1a，不妨令.12a于是可作变换.N,21naacnnn故21111nnnaac，将hraqpaannn1代入再整理得N,)()(22111nhqrpahqrpacnnn⑤由第（1）部分的证明过程知rpx不是特征方程的根，故.,21rprp故.0,021rprp所以由⑤式可得：N,2211211nrphqarphqarprpcnnn⑥∵特征方程hrxqpxx有两个相异根1、2方程0)(2qphxrx有两个相异根1、2，而方程xrpxhqx与方程0)(2qphxrx又是同解方程.∴222111,rphqrphq将上两式代入⑥式得N,2121211ncrprpaarprpcnnnn当,01c即11a时，数列}{nc是等比数列，公比为rprp21.此时对于Nn都有.))(()(12121111211nnnrprpaarprpcc当01c即11a时，上式也成立.由21nnnaac且21可知.N,1ncn所以.N,112nccannn(证毕)注:当qrph时,hraqpann会退化为常数;当0r时,hraqpaannn1可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径.1.已知数列na满足1nnnaabacad......①其中*0,,cadbcnN.定义1:方程axbxcxd为①的特征方程,该方程的根称为数列na的特征根,记为,.定理1:若1,a且,则11nnnnaaacaaca.定理2:若1a且0ad,则1121nncaada.例1（09·江西·理·22）各项均为正数的数列na,12,aaab,且对满足mnpq的正数,,,mnpq都有(1)(1)(1)(1)pqmnmnpqaaaaaaaa.(1)当14,25ab时,求通项na;(2)略.例2已知数列na满足*1112,2,nnaanNa,求通项na.例3已知数列{}na满足11122,(2)21nnnaaana，求数列{}na的通项na例4已知数列{}na满足*11212,()46nnnaaanNa，求数列{}na的通项na2.已知数列na满足2112nnnacaca②其中12,cc为常数,且*20,cnN.定义2:方程212xcxc为②的特征方程,该方程的根称