高中数学求轨迹方程地六种常用技法

实用标准文档文案大全求轨迹方程的六种常用技法轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。1．直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。例1．已知线段6AB，直线BMAM,相交于M，且它们的斜率之积是49，求点M的轨迹方程。解：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)AB，设点M的坐标为(,)xy，则直线AM的斜率(3)3AMykxx，直线BM的斜率(3)3AMykxx由已知有4(3)339yyxxx化简，整理得点M的轨迹方程为221(3)94xyx练习：1．平面内动点P到点(10,0)F的距离与到直线4x的距离之比为2，则点P的轨迹方程是。2．设动直线l垂直于x轴，且与椭圆2224xy交于A、B两点，P是l上满足1PAPB的点，求点P的轨迹方程。3.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线2．定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。例2．若(8,0),(8,0)BC为ABC的两顶点，AC和AB两边上的中线长之和是30，则ABC的重心轨迹方程是_______________。解：设ABC的重心为(,)Gxy，则由AC和AB两边上的中线长之和是30可得230203BGCG，而点(8,0),(8,0)BC为定点，所以点G的轨迹为以,BC为焦点的椭圆。所以由220,8ac可得2210,6abac实用标准文档文案大全故ABC的重心轨迹方程是221(0)10036xyy练习：4．方程222(1)(1)|2|xyxy表示的曲线是（）A．椭圆B．双曲线C．线段D．抛物线3．点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)AxyBxy的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12xx，12yy，12xx，12yy等关系式，由于弦AB的中点(,)Pxy的坐标满足122xxx，122yyy且直线AB的斜率为2121yyxx，由此可求得弦AB中点的轨迹方程。例3．椭圆22142xy中,过(1,1)P的弦恰被P点平分,则该弦所在直线方程为_________________。解：设过点(1,1)P的直线交椭圆于11(,)Axy、22(,)Bxy，则有2211142xy①2222142xy②①②可得12121212()()()()042xxxxyyyy而(1,1)P为线段AB的中点，故有12122,2xxyy所以12121212()2()210422xxyyyyxx，即12ABk所以所求直线方程为11(1)2yx化简可得230xy练习：5．已知以(2,2)P为圆心的圆与椭圆222xym交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。6．已知双曲线2212yx，过点(1,1)P能否作一条直线l与双曲线交于,AB两点，使P为线段AB的中点？4．转移法转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程：①某个动点P在已知方程的曲线上移动；②另一个动点M随P的变化而变化；③在变化过程中P和M满足一定的规律。例4．已知P是以12,FF为焦点的双曲线221169xy上的动点，求12FFP的重心G的轨迹方程。实用标准文档文案大全解：设重心(,)Gxy，点00(,)Pxy，因为12(4,0),(4,0)FF则有30003044yyxx，故yyxx3030代入19201620yx得所求轨迹方程2291(0)16xyy例5．抛物线24xy的焦点为F,过点(0,1)作直线l交抛物线A、B两点,再以AF、BF为邻边作平行四边形AFBR，试求动点R的轨迹方程。解法一：（转移法）设(,)Rxy，∵(0,1)F，∴平行四边形AFBR的中心为1(,)22xyP，将1ykx，代入抛物线方程,得2440xkx，设1122(,),(,)AxyBxy，则21212121216160||14444kkxxkxxkxxxx①∴222212121212()24244xxxxxxyyk，∵P为AB的中点.∴1222122222121kyyykxxx3442kykx，消去k得24(3)xy，由①得，||4x，故动点R的轨迹方程为24(3)(||4)xyx。解法二：（点差法）设(,)Rxy，∵(0,1)F，∴平行四边形AFBR的中心为1(,)22xyP，设1122(,),(,)AxyBxy，则有2114xy①2224xy②由①②得12121212()()4()4lxxxxyyxxk③而P为AB的中点且直线l过点(0,1)，所以1211322,22lyxyxxxkxx代入③可得34yxx，化简可得22124124xxyy④由点1(,)22xyP在抛物线口内，可得221()48(1)22xyxy⑤实用标准文档文案大全将④式代入⑤可得222128(1)16||44xxxx故动点R的轨迹方程为24(3)(||4)xyx。练习：7．已知(1,0),(1,4)AB，在平面上动点Q满足4QAQB，点P是点Q关于直线2(4)yx的对称点，求动点P的轨迹方程。5．参数法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。例6．过点(2,0)M作直线l交双曲线221xy于A、B两点，已知OPOAOB。（1）求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（2）是否存在这样的直线l，使OAPB矩形？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。解：当直线l的斜率存在时，设l的方程为(2)(0)ykxk，代入方程221xy，得2222(1)4410kxkxk因为直线l与双曲线有两个交点，所以210k，设1122(,),(,)AxyBxy，则22121222441,11kkxxxxkk①21212122244(2)(2)()4411kkkyykxkxkxxkkkk设(,)Pxy，由OPOAOB得212122244(,)(,)(,)11kkxyxxyykk∴2224141kxkkyk所以xky，代入241kyk可得241()xyyxy，化简得2240xyx即22(2)4xy②当直线l的斜率不存在时，易求得(4,0)P满足方程②，故所求轨迹方程为22(2)4(0)xyy，其轨迹为双曲线。（也可考虑用点差法求解曲线方程）（2）平行四边OPAB为矩形的充要条件是0OAOB即12120xxyy③当k不存在时，A、B坐标分别为(2,3)、(2,3)，不满足③式当k存在时，222121212121212(2)(2)(1)2()4xxyyxxkxkxkxxkxxk2222222(1)(14)244011kkkkkkk化简得22101kk，此方程无实数解，故不存在直线l使OPAB为矩形。实用标准文档文案大全练习：8．设椭圆方程为1422yx,过点(0,1)M的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足)(21OBOAOP,点N的坐标为)21,21(,当l绕点M旋转时,求:(1)动点P的轨迹方程；(2)||NP的最小值与最大值。9．设点A和B为抛物线24(0)ypxp上原点O以外的两个动点，且OAOB，过O作OMAB于M，求点M的轨迹方程。6．交轨法：若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。例7．已知MN是椭圆12222byax中垂直于长轴的动弦，A、B是椭圆长轴的两个端点，求直线MA和NB的交点P的轨迹方程。解1:(利用点的坐标作参数)令11(,)Mxy，则11(,)Nxy而(,0),(,0)AaBa.设AM与NB的交点为(,)Pxy因为,,AMP共线，所以axyaxy11因为,,NBP共线，所以axyaxy11两式相乘得22121222axyaxy①，而1221221byax即2)212(221axaby代入①得22222abaxx，即交点P的轨迹方程为12222byax解2:(利用角作参数)设(cos,sin)Mab，则(cos,sin)Nab所以aabaxycossin,aabaxycossin两式相乘消去即可得所求的P点的轨迹方程为12222byax。练习：10．两条直线01yax和)1(01aayx的交点的轨迹方程是_________。总结归纳1．要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明,xy的取值范围。2．“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。实用标准文档文案大全练习参考答案1．22(2)11648xy2．解：设P点的坐标为(,)xy，则由方程2224xy，得242xy由于直线l与椭圆交于两点A、B，故22x即A、B两点的坐标分别为2244(,),(,)22xxAxBx∴2244(0,),(0,)22xxPAyPBy由题知1PAPB即2244(0,)(0,)122xxyy∴22412xy即2226xy所以点P的轨迹方程为221(22)63xyx3．D【解析】在长方体1111ABCDABCD中建立如图所示的空间直角坐标系，易知直线AD与11DC是异面垂直的两条直线，过直线AD与11DC平行的平面是面ABCD，设在平面ABCD内动点(,)Mxy满足到直线AD与11DC的距离相等，作1MMMP于1M，MNCD于N，11NPDC于P，连结MP，易知MN平面111,CDDCMPDC，则有1MMMP，222||yxa(其中a是异面直线AD与11DC间的距离)，即有222yxa，因此动点M的轨迹是双曲线，选D.4．A5．解设(,)Mxy，11