第2章-多自由度系统振动

第2章多自由度系统振动2.1多自由度系统的自由振动2.2动力减振器2.3多自由度系统的模态分析方法2.4确定系统固有频率与主振型的方法本章目的：掌握多自由度系统建模方法，重点是刚度系数法掌握多自由度振动系统的固有频率、主振型概念掌握矩阵迭代法、传递矩阵法掌握多自由度振动系统的模态分析方法了解动力减振器的基本原理2.1多自由度系统的自由振动1.振动微分方程的建立2.多自由度系统的固有频率与主振型3.初始条件和系统响应（模态叠加）（一）多自由度振动微分方程的建立牛顿运动方程（或达朗伯尔原理）拉格朗日运动方程影响系数法哈密尔顿原理有限单元法（第9章）1.用牛顿定律建立微分方程GxGtTFxlklklklklklkkkxJmGGGGsin002222111122112221FxKxMGGGGJmM00][2222111122112221][lklklklklklkkkK例题1（P24）：在不平路面上行驶的车辆的二自由度系统（图）。设刚性杆的质量为m，两端的支承刚度分别为k1、k2，杆绕质心G点的转动惯量为J。假设作用在质心G点的激励力为简谐力F和简谐转矩T，则刚性杆不仅沿x方向振动，而且绕其质心扭转振动。『解』取刚性杆的广义坐标为由牛顿定律，系统的振动微分方程为和写成矩阵表达式：即质量矩阵刚度矩阵sinFFtT力列阵122211sin()()GGGmxFtkkxklkl2222111122sin()()GGGJTtklklxklkl2.用拉格朗日方程建立微分方程),,2,1(,)(kiFqUqTqTdtdiiiiNjijjzijjyijjxiqzFqyFqxFF1)(T为系统的动能U为系统的势能qi为广义坐标Fi为非有势广义力拉格朗日方程tTFxlklklklklklkkkxJmGGGGsin002222111122112221讨论：质量矩阵、刚度矩阵的特性与广义坐标的关系！（P25）GxG和在两个方程中出现，称为静力参数耦合或弹性耦合。例题2（P25）：用拉格朗日方程方法，列出车辆二自由度系统的动力学微分方程（右图）。223)(21)(21cccJlxmT252241)(21)(21cccclxklxkUtFxkxkmlxmccccsin213tTlklkmlJxmlcccccsin252241233ccccccTFxlklkkkxmlJmlmlm25224121233300『解』广义坐标：取C点（G点为质心）的直线位移为xc为q1，转角为θc为q2，此时外力Fc和转矩Tc作用在C点。5241lklk另设：系统的动能：系统的势能：利用拉格朗日方程，得写出矩阵1222142500kkKklkl质量矩阵讨论：质量矩阵、刚度矩阵的特性与广义坐标的关系！（P26）3233mmlMmlJml为对称阵刚度矩阵为对角阵ccccccTFxlklkkkxmlJmlmlm25224121233300GxG和在两个方程中出现，称为惯性耦合。3.影响系数法刚度影响系数法柔度影响系数法刚度影响系数kij：在系统的j点产生单位位移（即xj=1），而其余各点的位移均为零时，在系统的i点所需要加的力。刚度影响系数法又成为单位位移法例如，上图中k11表示在质量m1产生单位位移xl=1，而其它各质量位移均为0时，在质量m1所施加的力。此时111212()1kkkkk0][XKXM321000000][mmmM433332222133323123222113121100][kkkkkkkkkkkkkkkkkkkK『例』（P26）：质量m1、m2、m3的位移为x1、x2、x3。列出三自由度系统的动力学微分方程。『解』刚度影响系数kij：111212()1kkkkk122kk130k212kk2223kkk233kk310k323kk3334kkk动力学微分方程为则讨论：（1）如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！（2）刚度影响系数kij=kji与刚度矩阵的对称性！（P27）α11表示在m1上作用一个单位力Fj=1，而质量m2、m3上无作用力时，梁上m1处所产生得位移，由材料力学，得EIl7689311柔度影响系数法又称为单位力法柔度影响系数αij：在系统的j点作用一个单位力（即Fj=1），而其余各点均无作用力时，在系统的i点产生的位移。『例』（P27）：图2-3所示，简支梁上有质量m1、m2、m3，不计梁的自重。的位移为x1、x2、x3。列出三自由度铅垂方向振动微分方程。『解』柔度影响系数αij：α21表示在m1上作用一个单位力Fj=1，而质量m2、m3上无作用力时，梁上m2处所产生得位移，由材料力学，得32111768lEI同理，可以求出其他柔度系数。11,KK0][1XXMEIl76891171116117119][3333231232221131211＝最后得出总柔度系数矩阵可以证明，柔度影响系数矩阵与刚度影响系数矩阵互为逆阵，即三自由度铅垂方向振动微分方程为讨论：（1）如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！难度多大？（2）上述方程为什么不用刚度影响系数法？难度多大？用拉格朗日方程方法？（3）什么时候用柔度影响系数法？什么时候用刚度影响系数法？（P28）结论：（1）对于质量弹簧系统，应用刚度影响系数法较容易（2）对于梁、多重摆系统则用柔度影响系数法容易（3）对于杆件机构，应用拉格朗日方程方法较容易（二）多自由度系统的固有频率与主振型0XKXM)sin()sin(2211tAxtAxnn0)sin()(21212tAAKAAMnn0)(2uKMn21AAu对于一个多自由度的自由振动系统（以二自由度系统为例）设质量块作简谐振动，即（2-5）带入（2-5）式，则上式对于任意时间t成立，则振幅列阵特征方程（2-6）即为振型求解二自由度系统的固有频率与主振型0)()(0)()(222222122121221212121111AmkAmkAmkAmknnnn022222221212111121111nnnnmkmkmkmk02MKn21,2112211222211211221242()nbbacaammbmkmkckkk二自由度系统特征矩阵方程的展开式为（2-7）（2-8）该方程具有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零也可表示为易解出得出两个固有频率下的振幅比值21nn为一阶固有频率（或第一阶主频率）为二阶固有频率（或第二阶主频率）1n2n固有频率的大小仅取决于系统本身的物理性质。将所求得的固有频率1n2n和代入系统特征矩阵方程12221111)2(1)2(2)2(12211111)1(1)1(2)1(kmkAAkmkAAnn因此，振型可表示为)1()1(1u)2()2(1u],[)2()1(uuu第一主振型第二主振型2×2方阵],,[)()2()1(nuuuun1~nn对于n个自由度振动系统0XKXM由特征方程，可求出n个固有频率其振型可表示为n×n方阵（三）初始条件和系统响应（模态叠加）(1)u)2(2)1(22)2(1)1(11xxxxxx)sin()sin()sin()sin(22)2(1)2(11)1(1)1(222)2(111)1(11tAutAuxtAtAxnnnn101xx)sin()sin()sin()sin(22)2(211)1(2222)2(111)1(11tAtAxtAtAxnnnn202xx101xx202xx222010)1(22010)1()2()1()2(1212010)2(22010)2()2()1()1(1)()(1)()(1nnxxuxxuuuAxxuxxuuuA))(tan())(tan(2010)1(2010)1(222010)2(2010)2(11xxuxxuaxxuxxuann以二自由度系统为例，质量块m1、m2组成的二自由度振动系统有两组解，而其全解由这两组解叠加而成，即系统的响应为引入振型设初始条件：t=0时，推导出2n1n(2)u(2)1A已知：求：(1)1A12（2-14）2.2动力减振器tFxxkkkkkxxccccxxmmsin00002122221212121tieBx222111xieBixxieBixtiti2222212121xeBxxeBxtiti在工程中，为减少振动带来的危害，可以在主系统上装设一个辅助的弹簧质量系统。该辅助装置与主系统构成一个二自由度系统。该辅助装置能使主系统避开共振区，并有减振效果，故称为动力减振器。动力减振器与隔振器是本质不同的。该二自由度系统的动力学微分方程为采用复数法求解微分方程（参见第1.9节，P20）tieFF0sin000（2-18）带入（2－18）式，得为了比较安装动力减振器前后的减振效果，用减振后主系统的振幅与主系统在激振力幅值作用下产生的静位移之比来评价。0)00(02122221212FBBkkkkkccccimm22221122222222221122222201)(]))([()(mmkcmkmkmkcmkFB＋（2-20）展开后，求出B1，再将B1的复数值求模，得静位移为0F0Fst10/kFst1n12nn111mkn222mkn12mm222222mkcmcccnc设带入（2－20）式，得注意希腊字母ξ(ksi)原机械固有频率减振器固有频率注意：为了工程设计方便，与二自由度系统两阶固有频率概念有别。222222222222222221)1(4]))(1[(4)()(stB022222221))(1(stB1.0/12mm注意希腊字母ξ(ksi)如果（2-22）则无阻尼动力减振器的设计讨论当减振器的固有频率等于激振频率时，即2n则（2-23）10stB达到了消振目的然而，减振器的引入，却出现了两个新的共振点：12和取式（2-23）分母为零（意