(新课标)2014届中考数学查漏补缺第一轮基础复习 第28讲 圆的有关性质课件 北师大版

第28讲┃圆的有关性质第28讲┃考点聚焦考点聚焦考点1圆的有关概念定义1在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径圆的定义定义2圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆弦连结圆上任意两点的________叫做弦直径经过圆心的弦叫做直径弧圆上任意两点间的部分叫做弧优弧大于半圆的弧叫做优弧劣弧小于半圆的弧叫做劣弧线段第28讲┃考点聚焦考点2点和圆的位置关系点在圆外⇔________点在圆上⇔________如果圆的半径是r，点到圆心的距离是d，那么点在圆内⇔________drd＝rdr第28讲┃考点聚焦考点3确定圆的条件及相关概念确定圆的条件不在同一直线的三个点确定一个圆三角形的外心三角形三边_______________的交点，即三角形外接圆的圆心防错提醒锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形的斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部垂直平分线第28讲┃考点聚焦考点4圆的对称性圆既是一个轴对称图形又是一个________对称图形，圆还具有旋转不变性．中心第28讲┃考点聚焦考点5垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径______，并且平分弦所对的两条弧推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧总结对于①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧，这五条结论中的任意两条成立，那么其他的结论也成立平分弦第28讲┃考点聚焦考点6圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的______相等，所对的______相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等弧弦第28讲┃考点聚焦考点7圆周角圆周角定义顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________，都等于该弧所对的圆心角的________推论1在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧______推论2半圆(或直径)所对的圆周角是______；90°的圆周角所对的弦是______推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是________三角形相等一半相等直角直径直角第28讲┃考点聚焦考点8圆内接多边形圆内接多边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形．这个圆叫做这个多边形的外接圆圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角______互补第28讲┃考点聚焦考点9反证法定义不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法步骤(1)假设命题结论的反面是正确的，即提出与命题结论相反的假设；(2)从假设的结论出发，通过逻辑推理、推出与公理，已知的定理、定义或已知条件相矛盾；(3)由矛盾的结果说明假设不成立，从而肯定原命题的结论正确第28讲┃归类示例归类示例►类型之一确定圆的条件命题角度：1.确定圆的圆心、半径；2.三角形的外接圆圆心的性质．[2012·资阳]直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是________．10或8第28讲┃归类示例[解析]直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；②当两条直角边长分别为16和12时，则直角三角形的斜边长为162＋122＝20，因此这个三角形的外接圆半径为10.综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10.►类型之二垂径定理及其推论第28讲┃归类示例命题角度：1.垂径定理的应用；2.垂径定理的推论的应用．[2012·台州]把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图28－1所示，已知EF＝CD＝16厘米，则球的半径为________厘米．图28－110第28讲┃归类示例[解析]首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，分别交圆于G、N两点，取GN的中点O，连接OF，设OF＝x，则OM＝16－x，MF＝8.在直角三角形OMF中，OM2＋MF2＝OF2，即(16－x)2＋82＝x2，解得x＝10.第28讲┃归类示例垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关半径、弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．►类型之三圆心角、弧、弦之间的关系第28讲┃归类示例命题角度：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．第28讲┃归类示例[2013·南京]如图28－2，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD、CD.(1)求证：BD＝CD；(2)请判断B、E、C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．图28－2第28讲┃归类示例[解析](1)根据垂直于弦的直径的性质和同圆或等圆中等弧对等弦证明；(2)利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的判定证明DB＝DE＝DC.第28讲┃归类示例解：(1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴BD＝CD.∴BD＝CD.(2)B、E、C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.理由：由(1)知：BD＝CD，∴∠BAD＝∠CBD.∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE，∠CBE＝∠ABE，∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE.由(1)知：BD＝CD，∴DB＝DE＝DC.∴B、E、C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．►类型之四圆周角定理及推论第28讲┃归类示例命题角度：1．利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数；2．直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算．第28讲┃归类示例[2012·湘潭]如图28－3，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝()图28－3A.20°B.40°C.50°D.80°D第28讲┃归类示例[解析]先根据弦AB∥CD得出∠ABC＝∠BCD＝40°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出∠BOD＝2∠BCD＝2×40°＝80°.第28讲┃归类示例圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化．►类型之五与圆有关的开放性问题第28讲┃归类示例命题角度：1.给定一个圆，自由探索结论并说明理由；2.给定一个圆，添加条件并说明理由．第28讲┃归类示例[2012·湘潭]如图28－4，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC＝12AB，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合)，过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．(1)如图①，求证：△PCD∽△ABC；(2)当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图②中画出△PCD，并说明理由；(3)如图③，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．图28－4第28讲┃归类示例[解析](1)由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB＝90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A＝∠P.(2)由△PCD∽△ABC，可知当PC＝AB时，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等．(3)由∠ACB＝90°，AC＝12AB，可求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等得∠P＝∠A＝60°，通过证△PCB为等边三角形，由CD⊥PB，即可求出∠BCD的度数．第28讲┃归类示例解：(1)证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝∠D＝90°.又∵∠CAB＝∠DPC，∴△PCD∽△ABC.(2)如图，当点P运动到PC为直径时，△PCD≌△ABC.理由如下：∵PC为直径，∴∠PBC＝90°，则此时D与B重合，∴PC＝AB，CD＝BC，故△PCD≌△ABC.第28讲┃归类示例(3)∵AC＝12AB，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∠CAB＝60°.∴∠CPB＝∠CAB＝60°.∵PC⊥AB，∴∠PCB＝90°－∠ABC＝60°，∴△PBC为等边三角形．又CD⊥PB，∴∠BCD＝30°.