最新高三高考抽象函数总结

1最新高三抽象函数总结抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。抽象函数常见题型讲解：一、定义域问题：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。例一.若函数)1(xfy的定义域为)3,2[，求函数)21(xfy的定义域。提示：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1x与21x的范围等同。变式训练1：已知函数)(2xf的定义域是［1，2］，求)(xf的定义域。变式训练2：已知函数)(xf的定义域是]2,1[，求函数)]3([log21xf的定义域。二、求值问题例二、已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①1)2(f，51)6(f；②)()()(yfxfyxf，求f(3)，f(9)的值。注：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。变式训练3：已知Rxf是定义在)(上的函数，且Rxf对任意的,1)1(都有下列两式成立：)6(,1)()(.1)()1(;5)()5(gxxfxgxfxfxfxf则若的值为变式训练4:设函数))((Rxxf为奇函数，),2()()2(,21)1(fxfxff则)5(f_____变式训练5：已知)(),(xgxf都是定义在R上的函数，对任意yx,满足)()()()()(yfxgygxfyxf，且0)1()2(ff，则)1()1(gg=_________2三、值域问题:例三、设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，)()()(yfxfyxf总成立，且存在21xx，使得)()(21xfxf，求函数)(xf的值域。变式6：若函数)1(xfy的值域为]1,1[，求函数)23(xfy的值域。变式7：函数f(x)的定义域为(0,)，对任意正实数yx,都有)()()(yfxfxyf且2)4(f，则(2)f——————变式8：已知函数fx()对任意实数xy，都有fxyfxfy()()()，且当x0时，fxf()()012，，求fx()在[]21，上的值域。四、解析式问题例四、设函数)(xf满足xxxfxf1)1()(……①)10(xx且，求)(xf。评析：如果把x和xx1分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。变式9：已知()fx为偶函数，()gx为奇函数，且有()fx+1()1gxx，求()fx,()gx.五、单调性问题单调性的证明两种常用变换：])[()(1121xxxfxf（差变换）；)()(1212xxxfxf（商变换）例五、设)(xfy是定义在[-1，1]上的奇函数，且对于任意的]1,1[,ba，当0ba时，都有：0)()(babfaf。若ba，试比较)(af与)(bf的大小。3变式10：已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x0时，f(x)2，f(3)＝5，求不等式3)22(2aaf的解.变式11：设f(x)定义于实数集上，当0x时，1)(xf，且对于任意实数yx,，有)()()(yfxfyxf，求证：)(xf在R上为增函数。变式12:定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x0时，f(x)1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)1，求x的取值范围。变式13：已知fx()对一切xy，，满足ffxyfxfy()()()()00，，且当x0时，fx()1，求证：（1）x0时，01fx()；（2）fx()在R上为减函数。变式14：已知fx()是定义在（11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足fafa()()2402，试确定a的取值范围。4变式15：函数()fx的定义域为R,并满足以下条件:①对任意xR,有()fx0;②对任意,xyR,有()[()]yfxyfx;③1()13f.(1)求(0)f的值;(2)求证:()fx在R上是单调减函数;六、奇偶性问题例六、已知函数)0,)((xRxxf对任意不等于零的实数21,xx都有)()()(2121xfxfxxf，试判断函数f(x)的奇偶性。变式16：已知)(xfy是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的Rba,，都满足：)()()(abfbafbaf。判断)(xfy的奇偶性，并证明你的结论。变式17：已知定义在R上的函数()fx对任意实数x、y恒有()()()fxfyfxy，且当0x时，()0fx，又2(1)3f。(1)求证：()fx为奇函数；(2)求证：()fx为R上的减函数；5变式18：设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足f(x1－x2)＝f(x1)f(x2)＋1f(x2)－f(x1)；求证：f(x)是奇函数；变式19：已知定义在[3,3]上的函数()yfx满足条件：对于任意的,xyR，都有()()()fxyfxfy．当0x时，()0fx．（1）求证：函数()fx是奇函数；（2）求证：函数()fx在[3,3]上是减函数；（3）解不等式(21)(32)0fxfx．变式20：函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）.（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；变式21：已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=－3.（1）试证明：函数y=f（x）是R上的单调减函数；（2）试证明：函数y=f（x）是奇函数；6变式22：设函数f(x)的定义域为R，对于任意的实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＞0时，f(x)＜0，求证：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．变式23：设f（x）是定义R在上的函数，对任意x，y∈R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）≠0.（1）求证f（0）=1；（2）求证：y=f（x）为偶函数.变式24：已知函数(),fx当,xyR时，恒有()()()fxyfxfy.(1)求证:()fx是奇函数;(2)若(3),(24)faaf试用表示.七、周期性：周期性：解决抽象函数的周期性问题——充分理解与运用相关的抽象式是关键。例七、设)(xfy是定义在R上的奇函数，其图象关于直线1x对称。证明)(xfy是周期函数。变式25：设f(x)是R上的奇函数，且f(x+3)=-f(x)，求f(1998)的值。变式26：已知f（x）是定义在R上的函数，且满足：(2)[1()]1(),fxfxfx已知f（1）=1997，求f（2001）的值。7变式27：已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x)，则f(6)的值为_______．变式28：若()fx是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有(4)()4fxfx和,2)()2(xfxf且21）（f，则）（2009f的值是——————八、对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。结论1：设函数f(x)的定义域为R，且f(a+x)=f(b-x)，则函数f(x)的图象关于直线2bax对称；特别地，当f(a+x)=f(a-x)时，f(x)的图象关于x=a对称（自身对称）。结论2：对于定义在R上的函数y=f(x)，函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线2abx对称（相互对称）。例八、设函数)(xfy定义在实数集上，则函数)1(xfy与)1(xfy的图象关于（)A、直线0y对称B直线0x对称C直线1y对称D直线1x对称变式29：已知函数y=f(x)满足f(x+2)=f(2-x)；若方程f(x)=0有三个不同的实根，则这三个根的和为______。变式30：已知函数y=f(x)为奇函数，方程f(x)=0有5个根，问这五个根之和为_______九．利用模型函数，类比联想例九、如果f(x+y)=f(x)•f(y),且f(1)=2，则)2003()2004()5()6()3()4()1()2(ffffffff的值为_________。8变式31：已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意Rx都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1，若g(x)=f(x)+1-x，，则g(2005)=_____.五类抽象函数解法(1)求解方法：1.借鉴函数模型进行类比探究（化抽象为具体）2.赋值法（令0x或1，求出)0(f或)1(f、令xy或xy等等）（2）几种抽象函数模型：1.正比例函数：)0()(kkxxf——————————)()()(yfxfyxf；2.幂函数：2)(xxf——————————————)()()(yfxfxyf，)()()(yfxfyxf；注：反比例函数：1)(xxf一类的抽象函数也是如此，有部分资料将幂函数模型写成反比例函数模型。3.指数函数：xaxf)(———————————)()()(yfxfyxf，)()()(yfxfyxf4.对数函数：xxfalog)(————————)()()(yfxfxyf，)()()(yfxfyxf5.三角函数：xxftan)(————————————)()(1)()()(yfxfyfxfyxf6.余弦函数：xxfcos)(———————)()(2)()(yfxfyxfyxf1线性函数型抽象函数例十、已知函数()fx对任意实数xy、，均有()()()fxyfxfy，且当0x时，()0,(1)2,fxf求()fx在区间[-2,1]上的值域。分析：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。变式32：已知函数()fx对任意实数xy、，均有()()=2+()fxfyfxy，且当0x时，()2,(3)5,fxf求不等式2(23)3faa的解。9变式33：已知函数f(x)定义域R，对任意的x1、x2R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，当x0时，f(x)0,f(1)=a判定〔-3，3〕上f(x)是否存在最值，若有请求出最值，若无说明理由.变式34：⑴已知函数f(x)定义域R，对任意的x、yR，有f(x+y)=f(x)+f(y)-1，当x0时，f(x)1,⑴求证：f(x存在反函数.⑵.若不等式f(a2+a-5)2的解为-3x2,求f(4).2指数函数型抽象函数例十一、已知函数()fx定义域为R，满足条件：存在12xx，使得12()(),fxfx对任何x和y，()()()fxyfxfy成立。求：（1）(0);f(2)对任意值x,判断()fx值的正负。变式35：是否存在函数()fx满足下列三个条件：①()0,.fxxN②()()(),.fabfafbabN，③(2)4f同时成立？若存在，求出()fx的解析式，若不存在，说明理由。10变式3