2011届高考数学二轮复习课件3.1 变化率与导数、导数的计算

§3.1变化率与导数、导数的计算第三编导数及其应用要点梳理1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为，若Δx=x2-x1,Δy=f（x2）-f（x1），则平均变化率可表示为.1212)()(xxxfxfxy基础知识自主学习2.函数y=f（x）在x=x0处的导数（1）定义称函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率=为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x=x0，即f′(x0)==.（2）几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f（x）上点处的.相应地，切线方程为.xxfxxfx)()(00lim0xyxlim0xyxlim0xxfxxfx)()(00lim0(x0,f(x0))切线的斜率y-y0=f′(x0)(x-x0)3.函数f(x)的导函数称函数f′(x)=为f（x）的导函数，导函数有时也记作y′.4.基本初等函数的导数公式xxfxxfx)()(lim0原函数导函数f（x）=cf′(x)=f(x)=xn(n∈Q*)f′(x)=f(x)=sinxf′(x)=f(x)=cosxf′(x)=f(x)=axf′(x)=cosx0-sinxaxlna(a＞0)nxn-1ex5.导数运算法则（1）［f（x）±g(x)］′=;(2)［f(x)·g(x)］′=;(3)′=(g(x)≠0).6.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′=，即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积.f(x)=exf′(x)=f(x)=logaxf′(x)=f(x)=lnxf′(x)=(a＞0,且a≠1)axln1x1f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x))()(xgxf2)()()()()(xgxgxfxgxfy′·u′y对uu对xxux基础自测1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx，2+Δy），则为（）A.Δx++2B.Δx--2C.Δx+2D.2+Δx-解析∵Δy=（1+Δx）2+1-12-1=(Δx)2+2Δx,∴=Δx+2.Cxyx1x1x1xy2.设正弦函数y=sinx在x=0和x=附近的平均变化率为k1,k2,则k1,k2的大小关系为（）A.k1＞k2B.k1＜k2C.k1=k2D.不确定解析∵y=sinx,∴y′=(sinx)′=cosx,k1=cos0=1，k2=cos=0，∴k1＞k2.2πA2π3.曲线y=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线方程为（）A.y=3x-4B.y=-3x+2C.y=-4x+3D.y=4x-5解析由y′=3x2-6x在点（1，-1）的值为-3，故切线方程为y+1=-3(x-1)，即y=-3x+2.B4.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)＞-f(x)恒成立，且常数a,b满足a＞b,则下列不等式一定成立的是（）A.af(b)＞bf(a)B.af(a)＞bf(b)C.af(a)＜bf(b)D.af(b)＜bf(a)解析令g(x)=xf(x),∴g′(x)=xf′(x)+f(x)＞0.∴g(x)在R上为增函数，∵a＞b,∴g（a)＞g(b),即af(a)＞bf(b).B5.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是[0，]，则点P横坐标的取值范围为（）A.B.［-1，0］C.［0，1］D.解析∵y=x2+2x+3，∴y′=2x+2.∵曲线在点P(x0,y0)处切线倾斜角的取值范围是[0,],∴曲线在点P处的切线斜率0≤k≤1.∴0≤2x0+2≤1,∴-1≤x0≤.A4π21,11,214π21题型一利用导数的定义求函数的导数【例1】求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率.紧扣定义进行计算.解xxfxxfxy)()(00思维启迪11)(2020xxxy.11)(211)()(211)(11)(2020020202020202020xxxxxxyxxxxxxxxxxxx12x题型分类深度剖析探究提高求函数f（x）平均变化率的步骤：①求函数值的增量Δf=f（x2）-f（x1）；②计算平均变化率解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了..)()(1212xxxfxfxf知能迁移1利用导数定义，求函数在x=1处的导数.解方法一（导数定义法）.21,21111lim,11111,1110xyxxxxxyxyxxy方法二（导函数的函数值法）.21.211lim,1,10xyxxxxxxxxxxxxyxxxyx题型二导数的运算【例2】求下列函数的导数.（1）y=2x3+x-6；（2）y=；（3）y=(x+1)(x+2)(x+3)；（4）y=-sin(1-2cos2）；（5）.如式子能化简的，可先化简，再利用导数公式和运算法则求导.25sinxxxx2x4xxxy1111思维启迪解（1）y′=6x2+1..cossin2323)sin()()(,sinsin)2(23225232323232521xxxxxxxxxxyxxxxxxxxy(3)方法一y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.方法二y′=［(x+1)(x+2)］′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′=［(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′］(x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11..)1(2)1()1(2)12(,12)1)(1(111111)5(22xxxxyxxxxxxxy.cos21)(sin21)sin21(,sin21)2cos(2sin)4(xxxyxxxy求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式.对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形，如（3）小题;对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，如（2）、（4）、（5）都是如此.但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误.探究提高知能迁移2求下列函数的导数.（1）y=5x2-4x+1；(2)y=(2x2-1)(3x+1)；（3）y=.解(1)y′=(5x2-4x+1)′=(5x2)′-(4x)′+(1)′=10x-4.(2)∵y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1,∴y′=(6x3+2x2-3x-1)′=(6x3)′+2(x2)′-(3x)′-(1)′=18x2+4x-3.xxxxsincos.)sin(1cossinsincos)sin()cos1)(cos()sin)(sin1()sin()sin)(cos()sin()cos()3(222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxy【例3】求下列复合函数的导数.(1)y=(2x-3)5;(2)y=;(3)y=sin2（2x+）;(4)y=ln(2x+5).3πx3思维启迪先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成;求导时,可设出中间变量,注意要逐层求导不能遗漏,每一步对谁求导,不能混淆.解(1)设u=2x-3,则y=(2x-3)5由y=u5与u=2x-3复合而成,∴y′=f′(u)·u′(x)=(u5)′(2x-3)′=5u4·2=10u4=10(2x-3)4.（2）设u=3-x,则y=由y=u与u=3-x复合而成.x321.62332121)1(21)3()()()(212121xxxuuxuxuufy由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程.探究提高(3)设y=u2,u=sinv,v=2x+,（4）设y=lnu,u=2x+5,则3π2cos2vvvuuyyxux则).3π24sin(2)3π2cos()3π2sin(4xxxxuxuyy.522)52(521xxxy知能迁移3求下列复合函数的导数.(1)y=;(2)y=x;(3)解(1)y′=-3(1-3x)-4(1-3x)′=.3)31(1x12xπ).0()3cos(xy4)31(9xπ)0)(3sin(3)3(.11212211)2(2222xyxxxxxxy题型三导数的几何意义【例4】（12分）已知曲线方程为y=x2,（1）求过A（2，4）点且与曲线相切的直线方程；（2）求过B（3，5）点且与曲线相切的直线方程.（1）A在曲线上,即求在A点的切线方程.（2）B不在曲线上，设出切点求切线方程.解（1）∵A在曲线y=x2上,∴过A与曲线y=x2相切的直线只有一条，且A为切点.2分∵由y=x2,得y′=2x,∴y′|x=2=4,4分因此所求直线的方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.6分思维启迪（2）方法一设过B（3，5）与曲线y=x2相切的直线方程为y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k,8分y=kx+5-3k,y=x2得x2-kx+3k-5=0,Δ=k2-4(3k-5)=0.整理得:(k-2)(k-10)=0,∴k=2或k=10.10分所求的直线方程为2x-y-1=0,10x-y-25=0.12分方法二设切点P的坐标为(x0,y0),由y=x2得y′=2x,∴x=x0=2x0,8分由已知kPA=2x0,即=2x0.又y0=代入上式整理得:x0=1或x0=5,10分∴切点坐标为(1,1),(5,25),∴所求直线方程为2x-y-1=0,10x-y-25=0.12分0035xy20x由|y探究提高（1）解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法.（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为P（x0，y0），然后求其切线斜率k=f′(x0),写出其切线方程.而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点.（3）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确.知能迁移4已知曲线.(1)求曲线在x=2处的切线方程；(2)求曲线过点（2，4）的切线方程.解（1）∵y′=x2,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=4.∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.34313xy（2）设曲线与过点P（2，4）的切线相切于点，则切线的斜率k=y′|x=x=.∴切线方程为y-即34313xy)3431,(300xxA0),()3431(02030xxxx.34323020xxxy20x∵点P（2，4）在切线上，∴4=即∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.,343223020