2011届高考数学二轮复习课件3.3 定积分的概念及运算

§3.3定积分要点梳理1.用化归法计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为、、、.分割近似代替求和取极限基础知识自主学习2.定积分的定义如果函数f(x)在区间［a,b］上连续，用分点将区间［a,b］等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i=1,2,…,n)，作和式.当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间［a,b］上的定积分,记作,=,其中f(x)称为,x称为,f(x)dx称为，［a,b］为，a为，b为，“”称为积分号.niixf1)(xxfbad)(xxfbad)(ninlim1)(ifnab被积函数积分变量被积式积分区间积分下限积分上限3.的实质（1）当f(x)在区间［a,b］上大于0时，表示由，这也是定积分的几何意义.（2）当f(x)在区间［a,b］上小于0时，表示.(3)当f(x)在区间［a,b］上有正有负时，表示介于x=a，x=b(a≠b)之间x轴之上、下相应的曲边梯形的面积的代数和.xxfbad)(xxfbad)(直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积xxfbad)(由直线x=a，x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数xxfbad)(4.定积分的运算性质(1)=.(2)=.(3)=.5.微积分基本定理一般地，如果f（x）是区间［a，b］上的连续函数，并且F′(x)=f(x),那么.这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿——莱布尼兹公式.可以把F（b）-F（a）记为F(x).即kbaxxfd)(xxfd)(bakbaxxgxfd)]()([xxgxxfbabad)(d)(baxxfd)(xxfxxfbccad)(d)((a＜c＜b)baxxfd)()()(aFbFba|ba).()(|)(d)(aFbFxFxxfba6.利用牛顿——莱布尼兹公式求定积分的关键是，可将基本初等函数的导数公式逆向使用.7.定积分的简单应用（1）求曲边梯形的面积（2）匀变速运动的路程公式做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间［a,b］上的定积分，即s=.求被积函数的原函数ttd)(vba(3)变力作功公式一物体在变力F（x）（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向从x=a移动到x=b(a＜b)（单位：m),则力F所作的功为W=.xxFd)(ba基础自测1.sinxdx等于（）A.0B.2πC.πD.2解析=-cosπ-(-cos0)=1+1=2.Dπ0π0π0|)cos(dsinxxxx2(x≥0)2x(x＜0)，则f(x)dx的值是（）A.x2dxB.2xdxC.x2dx+2xdxD.2xdx+x2dx解析由分段函数的定义及积分运算的性质知：D2.设f(x)=11111101100110.dd2d)(d)(d)(21001100111xxxxxfxxfxxfx3.如图所示，函数y=-x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是（）A.1B.C.D.2y=-x2+2x+1y=1，∴S=（-x2+2x+1-1）dx=（-x2+2x）dxB由解析2020.34438|)3(2023xx334得x1=0,x2=2.4.曲线y=cosx（0≤x≤)与坐标轴所围成的面积是（）A.2B.3C.D.4解析如图所示，B2π3.321|sin|sin|dcos|dcosπ232π2π0π232π2π0xxxxxx255.有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为（x）=x3（取细棒的一端为原点，所在直线为x轴），棒长为1，则棒的质量M为（）A.1B.C.D.解析D213141.41|41d104310xxxM题型一利用微积分基本定理求定积分【例1】(1)(x2+2x+1)dx;(2)(sinx-cosx)dx;(3)（x-x2+）dx;(4)(cosx+ex)dx.先由定积分的性质将其分解成各个简单函数的定积分,再利用微积分基本定理求解.解(1)(x2+2x+1)dx=x2dx+2xdx+1·dx=思维启迪2121x1π00π21212121.319|||321212213xxx题型分类深度剖析.e11|e|sindedcosd)e(cos)4(.652ln2ln3723|ln|3|2d1ddd)1()3(.2|sin|)cos(dcosdsind)cos(sin)2(π0π0π0π0π0π212132122122121221π0π0π0π0π0xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx探究提高计算一些简单的定积分，解题的步骤是：（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4）利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值；（5）计算原始定积分的值.f(x)dx的关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F（x）.其中F（x）可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到.ba知能迁移1求下列函数的定积分.(1)(4x3+3x2-x)dx;(2)（e2x+）dx;(3)sin2dx.解（1）(4x3+3x2-x)dx=(4x3)dx+(3x2)dx-xdx==(24-0)+(23-0)-(22-0)=16+8-2=22.x12x20212π020202020202203204|21||xxx21.2lne21e211ln2lne21e21|ln|e21d1ded)1(e,ee21,1)(ln)2(2424212122122122122xxxxxxxxxxxxx.214π)0sin2π(sin21)204π(|sin21|21d2cosd21d2cos1d2sin)3(2π02π02π02π02π022π0xxxxxxxxx题型二求分段函数的定积分【例2】计算下列定积分.（1）|sinx|dx;(2)|x2-1|dx.对于第（1）小题，应对在区间［0，2π］上的正、负进行分情况计算；而对于第（2）小题，在0≤x≤2的条件下，对x2-1的正、负情况进行讨论.解（1）∵（-cosx）′=sinx，∴|sinx|dx=|sinx|dx+|sinx|dx=-（cosπ-cos0）+（cos2π-cosπ）=4.思维启迪π2ππ0π2ππ0|cos|cosdsindsinxxxxxxπ2020π20π0π2πx2-1(1＜x≤2)1-x2(0≤x≤1)∴|x2-1|dx=(1-x2)dx+(x2-1)dx（2）∵0≤x≤2，于是|x2-1|=201021.2)131()2231()311(|)31(|)31(3213103xxxx当被积函数含有绝对值（或平方根）时，须按绝对值内的正、负号将定积分区间分段，然后按区间的可加性逐段积分；同样，当被积函数为分段函数时，也须按函数的定义的分段情形相应的逐段积分.探究提高x3(0≤x≤1)(1＜x≤4),2x-14(4＜x≤5)在区间［0，5］上的定积分；(2)求|3-2x|dx;(3)求知能迁移2（1）求函数f(x)=x21.d2sin12π0xx解（1）由定积分性质知.121092ln16)4142ln16(5142ln323231641|)142ln2(|32|4d)142(ddd)(d)(d)(d)(544123104544131054411050xxxxxxxxxxfxxfxxfxxfxx(3)当x∈[0,]时,=|sinx-cosx|-sinx+cosx（0≤x≤）sinx-cosx（＜x≤）.21|)3(|)3(d)32(d)23(d|23|d|23|d|23|)2(2232231222323122323121xxxxxxxxxxxxxx2π=4π2π2)cos(sin2sin1xxx4π,.222)2222()1(12222)4πsin4πcos()2πsin2πcos()0sin0(cos)4πsin4π(cos|)sincos(|)sin(cosd)cos(sind)cossin(d|cossin|d|cossin|d|cossin|d2sin12π4π4π02π4π4π02π4π4π02π02π0xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx题型三求曲边梯形的面积【例3】求由抛物线y=x2-1,直线x=2,y=0所围成的图形的面积.画出图象→求出抛物线与x轴交点→用定积分求面积.解作出直线x=2,曲线y=x2-1的草图,所求面积为图中阴影部分的面积.由x2-1=0得抛物线与x轴的交点坐标是(-1,0)和(1,0),因此所求图形的面积为思维启迪S=|x2-1|dx+(x2-1)dx=(1-x2)dx+(x2-1)dx11212111.383238311311131)2231()311()311(|)3(|)3(3213113）（xxxx对于求平面图形的面积问题,应首先画出平面图形的大概图形,然后根据图形特点,选择相应的积分变量及被积函数,并确定被积区间.探究提高知能迁移3求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积.y2=2xy=4-x（2，2）及(8,-4).方法一选x作为积分变量，由图可看出S=A1+A2在A1部分：由于抛物线的上半支方程为y=,下半支方程为y=，所以解由方程组x2x2解出抛物线和直线的交点为方法二选y作积分变量，将曲线方程写为x=及x=4-y..18338316：,338|)322214(d)]2(4[,316|3222d22d)]2(2[8223282202321202021SxxxxxxSxxxxxxSAA于是22y.18|)624(d]2)4[(2432224yyyyyyS题型四定积分在物理中的应用【例4】(12分)一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求此汽车在这1min内所行驶的路程.由题意知，在t∈［0，10）和t∈［40，60）物体作匀变速直线运动，t∈［10，40）作匀速运动，∴v（t）应为分段函数，应分三段求积分.思维启迪解由速度—时间曲线易知，3t，t∈［0，10）30，t∈［10，40）-1.5t+90，t∈［40，60］4分由变速直线运动的路程公式可得v（t）=(m).3501|)9043(|30|23d)905.1(d30d3604024010100260404010100ttttttttts8分11分答此汽车在这1min内所行驶的路程是1350m.12分探究提高用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键.变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案，由于函数是分段函数，所以运算过程可能稍微复杂些，因此在运算过程中一定要细心，不要出现计算上的错误.知能迁移4一物体按规律x=bt3做直线运动,式中x为时间t内通过的距离,媒质的阻力与速度的平方成正比,试求物体由x=0运动到x=a时,阻力做的功.解物体的速度v=x′